山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性变换的矩阵 1.定义 定义1 设E1,E2.,en是数域P上n维线性空间V的一组基， 几是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： 几e1=a11e1+a21E2+.+an1e A82=a1281+a2282++an2En, 几en=a1n1+a2ne2+.+annEn
二、线性变换的矩阵 1. 定义 定义1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是数域 𝑃 上 𝑛 维线性空间 𝑉 的一组基， 𝒜是 𝑉中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： 𝒜𝜀1 = 𝑎11𝜀1 + 𝑎21𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝜀𝑛, 𝒜𝜀2 = 𝑎12𝜀1 + 𝑎22𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝜀𝑛, ⋯ ⋯ 𝒜𝜀𝑛 = 𝑎1𝑛𝜀1 + 𝑎2𝑛𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝜀𝑛
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 用矩阵来表示就是 cA(e1,e2,.,en)= (Ae1,Ae2,.,Aen)=(e1,e2,.,en)A (5) 其中 011 Q12 ain A= 021 022 02m ani an2 ann/ 矩阵A称为A在基E1,E2,.,en下的矩阵
用矩阵来表示就是 𝒜(𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) = (𝒜𝜀1 , 𝒜𝜀2 , ⋯ , 𝒜𝜀𝑛)) = (𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) 𝐴 其中 矩阵 𝐴 称为 𝒜 在基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛下的矩阵. (5) 𝐴 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在P3中，求下到变换在基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),E3=(0,0,1) 下的矩阵. 1)A(x1,x2,x3)=(x1+x2,X2+x3,X3+X1) 2)A(x1,x2,x3)=(0,x1+x2+x3,0)
例1 在𝑃 3中，求下列变换在基 𝜀1 = 1,0,0 , 𝜀2 = 0,1,0 , 𝜀3 = (0,0,1) 下的矩阵. 1) 𝒜 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑥3 + 𝑥1 ) 2) 𝒜 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = (0, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 0)
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2在P2×2中，定义线性变换 A=(&x X∈P2x2 求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵. 例3零变换0在任意一组基下的矩阵是零矩阵0； 单位变换￡在任意一组基下的矩阵是单位矩阵E; 数乘变换心在任意一组基下的矩阵是数量矩阵kE
例2 在𝑃 2×2中，定义线性变换 𝒜 𝑋 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑋, 𝑋 ∈ 𝑃 2×2 求 𝒜在基𝐸11, 𝐸12,𝐸21, 𝐸22下的矩阵. 例3 零变换𝒪 单位变换ℰ 数乘变换𝒦 在任意一组基下的矩阵是零矩阵𝑂; 在任意一组基下的矩阵是单位矩阵𝐸; 在任意一组基下的矩阵是数量矩阵𝑘𝐸;