广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.3 协方差及相关系数

4.3协方差及相关系数(2)D(X + Y) = E(I(X + Y) - E(X +Y)))= E{I(X - E(X)+(Y - E(Y)})= E([X - E(X)}}+ E([Y - E(Y)})+2E[X - E(X)IY-E(Y))= D(X) + D(Y)+ 2Cov(X,Y)

(2)D(X + Y ) {[( ( )) ( ( )] } 2 = E X − E X + Y − E Y + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} {[ ( )] } {[ ( )] } 2 2 = E X − E X + E Y − E Y = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ). {[( ) ( )] } 2 = E X + Y − E X + Y

4.3协方差及相关系数5.性质1° Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2° Cov(aX,bY)= abCov(X,Y),a, b为常数;3° Cov(X, + X2,Y) = Cov(Xi,Y)+ Cov(X2,Y)

5. 性质 Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); Cov(aX,bY ) = abCov(X,Y ), Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y 2 a, b 为常数; 3 1

4.3协方差及相关系数例1设（X，Y）的分布律为XP(Y=-i)2-2-11Y101/21/41/4001/41/201/44P(X=i 1/4 1/41/41/41易知E(X) = 0, E(Y) = 5/2, E(XY) = 0,PxY =0,X,Y不相关.即X,Y不存在线性关系由于 P[X = -2,Y =1}= 0 ± P[X = -2}P[Y = 1)所以XY不相互独立事实上，Y=X?,Y的值完全可由X的值所确定

例1 设（X，Y）的分布律为 易知E(X) = 0, E(Y ) = 5 2, E(XY ) = 0, = 0,  XY X,Y不相关.即X,Y不存在线性关系. 由于 P{X = −2,Y = 1}= 0  P{X = −2}P{Y = 1} 所以X,Y不相互独立. 事实上， , 2 Y = X Y 的值完全可由X的值所确定. X Y 4 1 PX = i PY = i 1 2 1 2 1 − 2 − 1 1 2 0 1 4 1 4 0 1 4 0 0 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

4.3协方差及相关系数，它的概率密度例2设（X,Y服从二维正态分布，为(x-μ)2f(x,y) =exp2(1-p2)L2元0,02 /1- p2(x-ui)(y-μz), (y-μz)-2p020102求X与Y的相关系数K

例2 设(X,Y )服从二维正态分布, 它的概率密度 为 f ( x , y )  −  + − − − 22 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 σ y μ σ σ x μ y μ ρ   − −− − = 21 2 1 2 2 1 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 σ x μ σ σ ρ ρ 求 X 与Y 的相关系数