第二章矩阵与向量 般地， am与a必1，am必为且仅为一下三种情 形之一： 10a可由%，必，m的线性表示，且表达式唯一； 20a可由，2，m的线性表示，但表达式不唯一； 30a不能由a1,2,0m的线性表示。 对于元线性方程组(2-8)若以表示其中第个未知 量的系数构成的m维列向量，即 j Azj i=1,2,.,n
第二章 矩阵与向量 一般地， 与1 ,2 ,., m必为且仅为一下三种情 形之一： 1 0 可由1 ,2 ,.,m的线性表示，且表达式唯一； 2 0可由1 ,2 ,.,m的线性表示，但表达式不唯一； 3 0不能由1 ,2 ,.,m的线性表示. 对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a = =
第二章矩阵与向量 且令 6 B= b2 b. 那么，方程组(2-8)可以表示为 X11+X2C2+.+Xn0n=B 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量%1,2，Cnm线性表示.当能由向量 41,2,心m线性表示且表达式唯一时，方程组(2-8) 有解且解唯一
第二章 矩阵与向量 1 2 m b b b = 且令 那么，方程组(2-8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x + ++ = 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量1 ,2 ,., m线性表示.当能由向量 1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一
第二章矩阵与向量 定义2.3.2设n维向量组 01,0C2,0m, 如果存在不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1a1+k22+.+kmCm=0 则称向量组1,2，Cm线性相关，否则称它们线性无关. 注：a1,2,an线性无关，就是 k141+k22+.+kmCm=0k1=k2=.=km=0
第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性无关
第二章矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论： ()只有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是a0; (2)如果向量组1,2，nm中有某两个向量=()， 那么向量组1,2，mn线性相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关. (在一个向量组1,2，m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做1,2，Qm的部分向量组，简称部分组.) (4④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的
第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=j (i≠j) ， 那么向量组1 ,2 ,.,m线性相关; (3)含有零向量的向量组必线性相关. (在一个向量组1 ,2 ,.,m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做1 ,2 ,.,m的部分向量组，简称部分组. ) (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的