2.2行列式 中学课.中已经介绍过23阶s3r及其在23元一)2线性方.组中应用我们在23阶3 基础上用归纳方法定义一般)阶方阵1,s3r,记为为t1或|1 若1=2,1为1阶方阵,则将,叫做1,33r,即为t1=, 我们知道2阶33r为 为 12.3 12e3+le2,3+en,2l3,,le2l3,11,2e3,ell2,3 e2a|,2/12 我们可以依定义列阶,5阶,…方阵,33rk一般假定),1阶方阵,33r已经定义了k 对于一个)阶方阵 A W, HW, Ah 划去et;1所在,s2第4s1与所在, 831后封一个),1阶方阵 44,44Wy,4 k,s3rtij叫做ent;1, 用余子r,语言,上面zr3阶33r可以写成 由此我们用归纳方法定义)阶方阵,33rk
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定rA阶,阵A=1c22行j为 A=是22是 即果·A阶:阵/行已过定义,则·阶:阵A/行了定义为 是 nt2;A2 M. 等中M2;方eIt2A余子,即划道A第A行,第r8后对得 A阶,阵,行 例A设A方 1角方 222 即<r假, entia A=0+则 e·=A假,划后成立、设·A假划后成立、于方 0 由行,定义知 为tA=题是 因而划后成立 定理A)A个,12阶,陈则 为etA Sapient a A2假,定,显:成立、假设·A假定,成立设A为·阶阵,且enm4=c+ 于方
9 ( * (?<B@ 2 ( B@ ) 8B FD G8+ ( . * ( E, E 2 E FG3* EFG37 DB@A F.FG3 9G * ! (2 E B /-3E* EB 3* ( . 7
由于M1j是7-1阶(方阵的)行列式,且A的第i行(≥2)去掉aij之后为M1的第-1 行.因而由归纳假设有 ∑(-1)a1(M)n 其中(M1)i1是A划去第1行,第i行,第j列与第1列后所得的7-2阶方阵的行列式,即 G+1j-1G+1j+1 an2 an j+ 另一方面,M1也是7-1阶方阵的行列式而且A的第了列去掉a之后是M1的第j-1 列.因而由行列式的定义有 其中(Mn1)1是A去掉第行,第1行,第1列与第j列后所得的"-2阶方阵的行列式,由此 因而,我们有 ∑(-1)+a;Mn 2 a1M1+ (-1)+an1a1;(M1)n 于是定理对任何7≥2都成立 例2设A是一个n阶上三角方阵即miA=0当>j时,则dA=emA 证利用定理1及例1的办法即可
D7 ( . DI 1G F.D@AE* ) FD & G8+ ( ,9 (.. DI 1G F.DB@ ) DI & G8+ (DH F. 7B 8HJ 03 . * ! ( E, K E2 IB LA B
7阶方+ 1222 从左上角到右下角叫主对角线或简称对角线a其上元素一a-220.ann称为对角线上元素或对 角元素如A满足(时 0a即 则称A为对角矩阵且记为 A=diag(中22中中n7 此时,deM=-.-22
( $#J%$!J! HE , HE )$ HE , H E * %( E 2 HE . HE
(n行列式的性质 按行列式的定义来计算行列式往往很复杂,因而需0研究行列式的1质,以便简化计算 性质A若A为方+A的转置.则 de用4=de用 证对A的阶数作归纳证明.阶为显然此1质成立.设阶为7-A时成立.讨论A的阶为n 是1是 于是 =1 其中M1为7-A阶方+的行列式,于是 是j1是 MI 是 是 是 是 是j1是 是 是 是 是 是 最后,个恰为A的元素e用14的余子式M1·而e用1A=en用A=是;于是由定理A知 ∑(-M+是 a a ce用41 因而1质A仍成立.故1质A对任何7成立 此1质说明,行列式中行与列处于平等地位.因此对于行的1质,可自然变为列的1质.下面只叙述 对于行的1质.主0考察初等变换对行列式的影响 性质2行列式中两行互换行列式变号.即 de用4 de用4
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