2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 (ln3)2≤nx2-ln2x≤ 【证】对这一不等式,只须令 f(x)=2lnx-lnx,求f(x)在[1,3已]上的最大最小值 先求驻点。 f'(x)= nx 令∫(x)=0,解出眭点x=e∈[1,3e] f(x0)=f(e)=2-1=1,f(1)=0 f(e)=2In (3e)-(In3e ln(3e)1-n3)=1-(ln3 所以maxf=1,minf=1-(n3)2,这说明要证的 xe[1,3e] 不等式成立 (2)函数开区间(a,b)内的最大最小值(或上界下界)问题 在开区间内不等式的证明,常涉及到开区间(a,b)内连续的函数的最大最 小值或上下界问题首先,在开区间(a,b)内连续的函数未必有最大值或最小 值。因此,考察开区间(a,b)内函数的最大最小值问题要比必区间上的情况来得复 杂 一般情况下,可用必要的手段考察f(x)在(a,b)内的上界与下界问 题具体方法是首先求出(a,b)内的驻点与不可导点,确定(a,b)内的极 值点,其次应进一步考查∫(x)在(a,b)内子区间上的增减性,以及两个单 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 1 (ln3) ln ln 1 2 2 2 − ≤ x − x ≤ 。 【证】对这一不等式，只须令 f x x x 2 ( ) = 2ln − ln ，求 f (x)在 上的最大最小值。 先求驻点。 [1,3e] x x x f x ln 2 2 ′( ) = − 令 f ′(x) = 0，解出驻点 [1,3 ] 0 x = e∈ e f (x0 ) = f (e) = 2 −1 = 1， f (1) = 0， 2 f (3e) = 2ln(3e) − (ln3e) 2 = ln(3e)(1− ln3) =1− (ln3) 所以 max 1 [1,3 ] = x∈ e f ， ，这说明要证的 不等式成立。 2 [1,3 ] min =1− (ln3) x∈ e f （2） 函数开区间(a,b)内的最大最小值（或上界下界）问题 在开区间内不等式的证明，常涉及到开区间 内连续的函数的最大最 小值或上下界问题。首先，在开区间 内连续的函数未必有最大值或最小 值。因此，考察开区间 内函数的最大最小值问题要比必区间上的情况来得复 杂。 (a,b) (a,b) (a,b) 一般情况下，可采用必要的手段考察 f (x)在 内的上界与下界问 题，具体方法是：首先求出 内的驻点与不可导点，确定 内的极 值点，其次应进一步考查 (a,b) (a,b) (a,b) f (x)在(a,b)内子区间上的增减性，以及两个单 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 16 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 侧极限limf(x)=A与lmf(x)=B,最后确定函数的 x->6 最大最小值,或上界与下界。这类问题一般是在区间内部取得最大最小值 例414证明对任意x∈(0,2),成立不等式 4xlnx≥x2+2x-3 【证】令∫(x)=4xlnx-x2-2x+3, 考虑∫(x)在(02内的正负号与极值问题。先求驻点 f'(x)=4+4lnx-2x-2 令∫(x)=0,解出鞋点x0=1∈(O,2),进步考查两个单 侧极限的情况。 lim f(x)=3>0 x→>0 lim f(x)=8In2-5>0 又f"(x)=--2,∫"(x0)=2>0,因此 f()=0= min f(x) ∈(0,2) 这意味着∫(x)≥0,即原不等式成立 例456求f(x)=√xlnx在(O+∞)内的最大最小值 【解】 f'(x) nx (2+Inx) X x 2 令∫(x)=0,解得点x0=e2∈(0,+∞) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -17-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 侧极限 f x A x a = → + lim ( ) 与 f x B x b = → − lim ( ) ，最后确定函数的 最大最小值，或上界与下界。这类问题一般是在区间内部取得最大最小值。 例 4.14 证 明 对 任 意 x ∈(0,2) ， 成 立 不 等 式 4 ln 2 3 2 x x ≥ x + x − 【证】令 ( ) 4 ln 2 3， 2 f x = x x − x − x + 考 虑 f (x) 在 (0,2) 内 的 正 负 号 与 极 值 问 题 。 先 求 驻 点 。 f ′(x) = 4 + 4ln x − 2x − 2 令 f ′(x) = 0，解出驻点 1 (0,2) x0 = ∈ ，进一步考查两个单 侧极限的情况。 lim ( ) 3 0 0 = > → + f x x ， lim ( ) 8ln 2 5 0 2 = − > → − f x x 又 2 4 ′′( ) = − x f x ， f ′′(x0 ) = 2 > 0 ， 因 此 (1) 0 min ( ) (0,2) f f x x∈ = = 。 这意味着 f (x) ≥ 0，即原不等式成立。 例 4.15 求 f (x) = x ln x 在(0,+∞)内的最大最小值。 【解】 (2 ln ) 2 1 ln 2 1 ( ) x x x x x x f ′ x = + = + 令 f ′(x) = 0，解得驻点 (0, ) 2 0 = ∈ +∞ − x e 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 17 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785