2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 f(x=(x+2x+2)arctan(x+1) (x2+2x+2)-x f(0)=0 (x)=(2x+2)arctan(x+1)-(2x+ =(2x+2) arctan(x+1)-]>0 于是当x>0时f(x)>0,即原左侧不等式成立 令(x)= arctan(x+1 4 39(0)=0, p() 0,→(x)<0 1+(x+1) 即原右侧不等式成立 例4,7设∫(x)∈C[O,在(0,1)内可导,且 f(0)=f(1)=0,证明存在∈(0,1)使 2f(5)+f(5)=0 【证】构造F(x)=x2f(x),容易验证 F(x)∈C[O,1]且在(O,1)内可导, 且F(0)=F(1)=0,对F(x)应用罗尔定理得 存在∈(0,1)使F(2)=0 25f()+5f()=0 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 11-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 x x x f x x x x − + + − = + + + ( 2 2) 4 ( ) ( 2 2)arctan( 1) 2 2 π f (0) = 0, ] 0 4 (2 2)[arctan( 1) (2 2) 4 ( ) (2 2)arctan( 1) = + + − > ′ = + + − + π π x x f x x x x ， 于是当 x > 0时 f (x) > 0，即原左侧不等式成立。 令 , (0) 0 4 2 ( ) = arctan( +1) − − ϕ = π ϕ x x x ， 0, ( ) 0 2 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 − < ⇒ < + + ′ = x x ϕ x ϕ 即原右侧不等式成立。 例 4．7 设 f (x) ∈C[0,1]，在(0,1)内可导，且 f (0) = f (1) = 0，证明存在ξ ∈ (0,1)使 2 f (ξ ) + ξf '(ξ ) = 0。 【证】构造 ( ) ( )，容易验证 2 F x = x f x F(x) ∈C[0,1]且在(0,1)内可导， 且 F(0) = F(1) = 0，对 F(x) 应用罗尔定理得： 存 在 ξ ∈(0,1)使F'(ξ ) = 0 ， 即 2 ( ) '( ) 0， 2 ξf ξ + ξ f ξ = 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 11 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 两边同除与≠0,于是原题得证 4.4用导数研究函数性态(极值凸性与拐点最值不等式等) 4.4.1引言 用导数研究函数性态是一类重要问题,属于导数应用范围。这类问题的理论基 础是第十讲中若干微分学基本定理,并且还会涉及到导数定义与几何意义,以及连 续函数的性质等内容。而这类问题涉及的范围是:函数及其导数(甚至二阶导数)的 零点问题,增减性问题,极值与最大最小值问题,曲线的凹凸性问题与渐近线问题, 以及某些不等式的证明问题。 4.4.2函数的局部极值问题 定义41若在x的某邻域内,恒有f(x)≤∫(x0)或 f(x)≥f(x0)) 则称f(xO)为函数∫(x)的个极大(小)值 极大值、极小值统称为极值,使函数取极值的点x。称为极值点 个可导函数在x=x处取得极值的必要条件是f(x0)=0,这 正是费尔马定理满足∫”(x0)=0的点x0称的为f(x)的畦点。 从几何上看,曲线在极值点x处如果有切线,必是水平切线。 三类判断极值点的充分条件: 定理4.5(第一类充分条件) 设∫(x)在x0莱邻域内有定义,若在x处的增量 4f(x)=∫(x)-f(x0)在x两侧附近不变号,则x=x0必 为f(x)的极值点.并且△(x)≥0时,x为极小值点,而 Δ(x)≤0时,x0为极大值点 例48求f(x)=1-x在[-1内的极值点 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 两边同除ξ ≠ 0，于是原题得证。 4．4 用导数研究函数性态（极值 凸性与拐点 最值 不等式等） 4．4．1 引言 用导数研究函数性态是一类重要问题，属于导数应用范围。这类问题的理论基 础是第十讲中若干微分学基本定理，并且还会涉及到导数定义与几何意义，以及连 续函数的性质等内容。而这类问题涉及的范围是：函数及其导数(甚至二阶导数)的 零点问题，增减性问题，极值与最大最小值问题，曲线的凹凸性问题与渐近线问题， 以及某些不等式的证明问题。 4．4．2 函数的局部极值问题 定义 4.1 若在 x0 的某邻域内，恒有 ( ) ( ) 0 f x ≤ f x 或 ( ) ( )) 0 f x ≥ f x ， 则称 ( ) 0 f x 为函数 f (x)的一个极大(小)值。 极大值、极小值统称为极值，使函数取极值的点 称为极值点。 0 x 一个可导函数在 处取得极值的必要条件是 0 x = x f ′(x0 ) = 0，这 正是费尔马定理。满足 f ′(x0 ) = 0的点 称的为 0x f (x)的驻点。 从几何上看，曲线在极值点 处如果有切线，必是水平切线。 0 x 三类判断极值点的充分条件： 定理 4.5 (第一类充分条件) 设 f (x) 在 某邻域内有定义，若在 处的增 量 0x 0 x ( ) ( ) ( ) 0 ∆f x = f x − f x 在 x0 两侧附近不变号，则 0 x = x 必 为 f (x) 的 极 值点。并 且 ∆f (x) ≥ 0 时 ， 为 极小值点 ， 而 0x ∆f (x) ≤ 0时， 为极大值点。 0x 例 4.8 求 f (x) = 1− x 在[−1,1]内的极值点。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 12 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101 话:62781785 X 解】f(x)= 1-xr≥1由∫(1)=0得, x<1.f=x-1-f(1)=x-1<0 x>1,Af=1-x-f(1)=1-x<0 在x=1两侧附近均有△f≤O,等号仅在x=1处成立 定理4.6(第二类充分条件) 设f(x)在x某去心邻域(x 0-6,x0)∪(x0,x0+δ) 内可徽在x处连续,则当∫(x)在x0两侧变号时,x0为f(x)的极 值点,并且 ()当x∈(x0-δ,x)时,∫(x)>0,而当 x∈(x0,x0+)时,f(x)<0,x=x0必为极大值点 0当x∈(x-δ,x)时,f(x)<0,而当 x∈(x0,x0+6)时,∫(x)>0,x=x0必为极小值点 例410设方程x3一3x+A=0,讨论A取何值时 (1)方程有一个实根; (2)方程有二个不同实根; (3)方程有三个不同实根。 【解】设f(x)=x3-3x+A,则f(x)为三次多项式,最多有三个实根。用导数 讨论该函数的增减区间与极值的分布情况。 f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) 令f(x)=0,解得驻点x1=-1, 1,并且 x∈(-∞,-1)时,f(x)>0.f(x)单调增加 x∈(-1)时,f(x)<0,f(x)单调减少 x∈(1,+∞)时,∫(x)>0,f(x)单调增加 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 【解】 ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ − < = 1 1 1 1 ( ) x x x x f x ，由 f (1) = 0得， x <1：∆f = x −1− f (1) = x −1 < 0， x >1：∆f = 1− x − f (1) = 1− x < 0， 在 x =1两侧附近均有∆f ≤ 0，等号仅在 x =1处成立。 定理 4.6 (第二类充分条件) 设 f (x)在 x0 某去心邻域( −δ ) ( + δ ) 0 0 0 0 x , x U x , x 内可微，在 处连续，则当 0x f ′(x) 在 两侧变号时， 为 0x 0x f (x)的极 值点，并且 (1) 当 x (x , x) ∈ 0 −δ 时 ， f ′(x) > 0 ，而当 ∈( + δ ) 0 0 x x , x 时， f ′(x) < 0， 0 x = x 必为极大值点。 (2) 当 x (x , x) ∈ 0 −δ 时 ， f ′(x) < 0 ，而当 ∈( + δ ) 0 0 x x , x 时， f ′(x) > 0， 0 x = x 必为极小值点。 例 4.10 设方程 3 0 3 x − x + A = ，讨论 A取何值时 (1) 方程有一个实根； (2) 方程有二个不同实根； (3) 方程有三个不同实根。 【解】设 ，则 为三次多项式，最多有三个实根。用导数 讨论该函数的增减区间与极值的分布情况。 f (x) = x − 3x + A 3 f (x) ( ) 3 3 3( 1)( 1) ， 2 f ′ x = x − = x + x − 令 f ′(x) = 0，解得驻点 x1 = −1， 1 x 2 = ，并且 x ∈(−∞,−1)时， f ′(x) > 0， f (x)单调增加； x ∈(−1,1)时， f ′(x) < 0， f (x)单调减少； x ∈(1,+∞)时， f ′(x) > 0， f (x)单调增加。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 13 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 于是可知x1=-1为f(x)的极大值点,而x2=1为f(x)的 极小值点。f(x)的极大极小值分别为 ()f(-1)=A+2,f(1)=A-2 最大最小值均大于零(或小于时,y=f(x)在(1,+∞)内无零点 又 lim f(x)=-00,即f(x)可在(_O,-1)内可取得负 值,由连续函数的零点定理,可知∫(x)仅在(∞,-1)内有一个零点 f(-1)·f(1)=(A+2)(A-2)>0 由此可A应满足2-4>0,甲4>2 (2)显然,当f(x)的最大最小值有一个为零时,即 f(-1)·f(1)=A2-4=0时, f(x)恰有两个零点,此时A=2. ()当∫(-1)与∫(1)取得异号时,注意到 lim f(x)=+∞,于是f(x)恰有三个零点,分别位于 x→)+0 (-∞,-1),(-1)与(1,+0)内,此时A<2. 定理47(第三类充分条件)如果∫(x0)=0, f"(x0)<0(>0),则f(x0)为极大值(小恤) 注:进一步的广义充分条件,在关于凹凸性一节后面给出。 例411求f(x)=x-3x2+4x+5的极值 【解】 f(x)=2x2-6x+4=2(x-1)(x-2) 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 于是可知 x1 = −1为 f (x)的极大值点，而 x2 =1为 f (x)的 极小值点。 f (x)的极大极小值分别为： (1) f (−1) = A + 2， f (1) = A − 2 ， 最大最小值均大于零(或小于零)时， y = f (x)在(−1,+∞)内无零点， 又 = −∞ →−∞ lim f (x) x ，即 f (x) 可在 (−∞,−1) 内可取得负 值，由连续函数的零点定理，可知 f (x)仅在(−∞,−1)内有一个零点。 f (−1)⋅ f (1) = (A + 2)(A − 2) > 0 由此可得 A应满足 4 0 2 A − > ，即 A > 2 (2) 显 然 ， 当 f (x) 的 最 大最小 值有一 个为零 时，即 ( 1) (1) 4 0时， 2 f − ⋅ f = A − = f (x)恰有两个零点，此时 A = 2。 (3) 当 f (−1) 与 f (1) 取 得 异 号时， 注 意 到 = +∞ →+∞ lim f (x) x ，于是 f (x) 恰 有 三 个零点 ， 分别位 于 (−∞,−1),(−1,1)与(1,+∞) 内，此时 A < 2 。 定 理 4.7 (第三类充 分条件) 如果 f ′(x0 ) = 0 ， f ′′(x0 ) < 0(> 0)，则 ( ) 0 f x 为极大值(极小值)。 注：进一步的广义充分条件，在关于凹凸性一节后面给出。 例 4.11 求 3 4 5 3 2 ( ) 3 2 f x = x − x + x + 的极值。 【解】 ( ) 2 6 4 2( 1)( 2) 2 f ′ x = x − x + = x − x − ， 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 14 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1 清华大学理科楼1101电话:62781785 得驻点x1=1,x2=2 f"(x)=4x-6.f"(1)=-2<0 20 所以∫(1)=为极大值:因为∫"(2)=2>0,所 f(2) 为极小值。 4.4.3闭区间与开区间上的最大最值问题 (1)闭区间上的最大最值问题 f(x)在[a,b]上连续时,必然在[ab上有最大最小值,而在 a,b]上有间断点或不可导点时,求f(x)在[4,b]上最大最小值时,应 将驻点,不可导点及端点处的函数值还一进行比较,而后确定最大最小值 42*y=x53-5x4+5x3+1在[-12]上的最大燥值 【解】先求驻点, 5x 4 20x3+15x 5 X ( X 1)(x-3) 令y’=0,解得驻点x1=0,x2=1,x3=3,且 y"=20x3-60x2+30x,x3不在[-1,2]上 y"(0)=0.y"(1)=-10<0 y(0)=1,y(1)=2 y(-1)=-10,y(2)=-7, 因此y=f(x)在[-1,2]上的最小值为y(-1)=-10,最大值 为y(1)=2 例4.13 设1<x≤3e 证明不等式 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 15-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 得驻点 1， 。 x1 = x2 = 2 f ′′(x) = 4x − 6。 f ′′(1) = −2 < 0， 所 以 3 20 f (1) = 为 极 大值：因 为 f ′′(2) = 2 > 0 ，所以 3 19 f (2) = 为极小值。 4．4．3 闭区间与开区间上的最大最值问题 （1） 闭区间上的最大最值问题 当 f (x) 在 上连续时，必然在 上有最大最小值。而在 上有间断点或不可导点时，求 [a,b] [a,b] [a,b] f (x)在 上最大最小值时，应 将驻点，不可导点及端点处的函数值逐一进行比较，而后确定最大最小值。 [a,b] 例 4.12 求 5 5 1在 5 4 3 y = x − x + x + [−1,2]上的最大最值。 【解】先求驻点， 5 20 15 5 ( 1)( 3) 4 3 2 2 y ′ = x − x + x = x x − x − 令 y ′ = 0 ，解得 驻 点 x1 = 0 ， x2 =1 ， x3 = 3 ， 且 y 20x 60x 30x ， 不在 3 2 ′′ = − + 3x [−1,2]上。 y ′′(0) = 0， y ′′(1) = −10 < 0， y(0) = 1， y(1) = 2， y(−1) = −10， y(2) = −7， 因此 y = f (x)在[−1,2]上的最小值为 y(−1) = −10，最大值 为 y(1) = 2。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 15 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 4.13 设 1 ≤ x ≤ 3e ， 证 明 不 等 式