2、线性微分方程的解的结构 二阶齐次方程解的结构： y"+P(x)Jy'+2(x)y=0 (1) 定理1如果函数y,(x)与y2(x)是方程(1)的两个解， 那么y=C1y1+C2y,也是方程(1)的解.(C1,C,是常数)
二阶齐次方程解的结构: y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 2、线性微分方程的解的结构 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) (1) ( 1 1) .( ) , y x y x y C y C y C C = + 如果函数 与 是方程 的两个解， 那么 也 定 是方程 的解 是常数 理
证：将y=Cy(x)+Cy2(x)代入方程左边，得 [Cy"+C2y2 1+P(x)[C;+C2y2] +2(x)[C1y1+C2y2] =C[y"+P(x)y1+2(x)y] +C2[y2+P(x)y2+2(x)y2] =0 证毕 问题：y=C11+C2y2一定是通解吗？
1 1 2 2 + + P x C y C y ( )[ ] 1 1 2 2 + + Q x C y C y ( )[ ] = 0 证毕 证: 1 1 2 2 将 y C y x C y x = + ( ) ( )代入方程左边，得 1 1 2 2 [ ] C y C y + 1 1 1 1 = + + C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 + + + C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ] 1 1 2 2 问题：y C y C y = + 一定是通解吗？
说明： y=Cy(x)+C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解， 例如，(x)是某二阶齐次方程的解，则 y2(x)=2y1(x)也是齐次方程的解 但是Cy,(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)y() 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 1 y x( ) 是某二阶齐次方程的解, 2 1 y x y x ( ) 2 ( ) = 也是齐次方程的解 1 1 2 2 1 2 1 C y x C y x C C y x ( ) ( ) ( 2 ) ( ) + = + 并不是通解 但是 1 1 2 2 y C y x C y x = + ( ) ( ) 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
定义：设y1,y2,.,yn为定义在区间内的个 函数，如果存在个不全为零的常数，使得 当x在该区间内有恒等式 k1y1+k2y2+.+knyn=0 成立，那么就称这个函数在I内线性相关， 否则称为线性无关 例如当x∈(-oo,+o)时，1，c0s2x,sin2x线性相关 又如，1，x,x2,若在某区间1上k1+k2x+k3x2≡0
例如 x x 2 2 当x − + ( , )时，1，cos , sin 线性相关 2 1 , , , x x 若在某区间 I 上 2 1 2 3 又如， k k x k x + + 0 , 1 2 1 1 2 2 , , , 0 . n n n y y y I n n x k y k y k y n I + + + = 设 为定义在区间 内的 个 函数，如果存在 个不全为零的常数，使得 当 在该区间内有恒等式 成立，那么就称这 个函数在 内线性相关， 否则称为线 定 ： 性无关 义
则根据二次多项式至多只有两个零点，可见k1,k2,k3 必需全为0，故1，x,x2在任何区间I上都线性无关 特别地： 若在1上有四≠常数， v2(x) 则函数y,(x)与y,(x)在I上线性无关. 定理2如果函数y(x)与y,(x)是方程(1)的两个线性 无关解，那么y=Cy1+C2y,也是方程(1)的通解
特别地 : 若 在 I 上 有 常数， ( ) ( ) 2 1 y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在 I 上线性无关. 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 1 2 3 k k k , , 必需全为 0 , 可见 2 故 1 , , x x 在任何区间 I 上都 线性无关. 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) (1) (1) 2 . y x y x y C y C y = + 如果函数 与 是方程 的两个线性 无关解，那么 也是方程 定 的通解 理