例2求微分方程(1+x)y”=2xy满足初始条件 y川x=0=1,y1x=0=3 的特解 解：
例𝟐 求微分方程 (𝟏 + 𝒙 𝟐 )𝒚 ″ = 𝟐𝒙𝒚 ′满足初始条件 𝒚|𝒙=𝟎 = 𝟏, 𝒚 ′ |𝒙=𝟎 = 𝟑 的特解. 解：
3、y”=fy,y)的微分方程 解法：令y'=p(y),并利用复合函数的求导法则 把y"化为对y的导数，即 dpdp dy dp dx dy dx 三p'dy 这时方程变为一阶微分方程： p号=f0 dp
解法：令𝑦 ′ = 𝑝(𝑦), 并利用复合函数的求导法则 把𝑦 ″化为对𝑦的导数，即 𝑦 ″ = 𝑑𝑝 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑦 ⋅ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑝 ⋅ 𝑑𝑝 𝑑𝑦 这时方程变为一阶微分方程： 𝑝 ⋅ 𝑑𝑝 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑦,𝑝) 3、𝑦 ″ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ )的微分方程
例3求方程y”-y2=0的通解. 解设y'=p0,则广=P西 代入原方程得yP 9-p2=0,即py 迎-p）=0, 迎-p=0,可得p=Cy 由y dy=Cy, d心 原方程通解为y=C2eCx
0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dp y p dy 设 𝑦 则 = ′ = 𝑝(𝑦), 代入原方程得 2 0, dp y p p dy − = ( ) 0, dp p y p dy 即 − = 0 dp y p dy 由 − = ， 1 可得 p C y = , 1 2 . C x 1 原方程通解为 y C e = , dy C y dx = 例 3
二、高阶线性微分方程 1、概念的引入 2、线性微分方程的解的结构
二、高阶线性微分方程 1、概念的引入 2、线性微分方程的解的结构
1、概念的引入 一般的 +P+eep= 二阶线性微分方程 当f(x)=0时，二阶线性齐次微分方程 当f(x)丰0时， 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y(m+a(x)y(D+.+a(x)y'+a,(x)y=f(x)
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 当 f x( ) 0 时， 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一般的 当 f x( ) 0 时， ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y a x y a x y a x y f x − − + + + + = 1、概念的引入