复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第六章 Laplace变换 Laplace transform and delta function

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU f(o) f( dt q(1)e -sf-lor i.e. f(o)= dr(s>So) iv反演(反变换) ∫()= f(oedo 2zk广em-dmn,=0)BO)e P(OH(e f(oe de 故 qp(1)H()= f(o)e( do p(te dt=np(p) (p=s+io, do=dp/i, do= dp) ⅵ.结论:q()H()= p(p)e dpls>So) 2.梅林反演公式和展开定理: 梅林反演公式:若函数(p),p=s+i满足:(1)p(p)在区域 Rep>S中解析,(2)在区域Rep>S0中,当p→>∞时,o(p) 致地趋于0,(3)对于所有的ReP=>S,沿直线L:Rep=s的 无穷积分厂二(p)(s>)收敛,则对于ReP=s>S,列)是 o()=--厂"v(p)e" 平面 的 Laplace变换,其中t为实变量 证明:分三步证明上面给出的a(1)就是o()的 原函数。 l/证明o()= (p)e"dp中的积 81-I0 52-19 分与s无关,而作为自变量t的函数q(1) 图6 11

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 11 0 1 1 ( ) ( ) d ( ) d . 2 2 i t st i t f f t e t t e e t                  i.e. ' ' 0 1 ( ) ( ') d ' 2 st i t f t e e t           ( 0 s s  ). ⅳ.反演（反变换） ' ( ') 0 1 1 ( ) ( ) d ( ') [ d ]d ' ( ) ( ) . 2 2 i t st i t t st f t f e t e e t t H t e                         1 ( ) ( ) ( ) d . 2 st i t t H t e f e             ⅴ.故 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d , 2 1 1 ( ) ( ) d ( ) 2 2 1 ( ,d d / , d d ). s i t pt s i s i t H t f e f t e t p p s i p i p i                                       ⅵ. 结论： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s i pt s i t H t p e dp s s i            2. 梅林反演公式和展开定理： i. 梅林反演公式：若函数 (p) ， p  s  i 满足：(1) (p) 在区域 Re 0 p  s 中解析，(2)在区域 Re 0 p  s 中，当 p  时， (p) 一 致地趋于 0，(3)对于所有的 Re 0 p  s  s ，沿直线 L：Re p  s 的 无穷积分   0 ( p) d s s s i s i         收敛，则对于 Re 0 p  s  s ，(p) 是       s i s i pt p e p i t ( ) d 2 1 ( )    的 Laplace 变换，其中 t 为实变量。 证明：分三步证明上面给出的 (t) 就是 (p) 的 原函数。 1/ 证明       s i s i pt p e p i t ( ) d 2 1 ( )    中的积 分与 s 无关，而作为自变量 t 的函数 (t) 图 6.1

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 具有有限的增长指数。 在区域Rep>s0中,作闭曲线如图61所示,由于列(p)在此区域 是解析的,因此,由 Cauchy定理,页(p)e"dp=0, 固定S,s2,而让a→>∞,则由已知条件(2, 页(p)"=0,im∫pl"gp=0 因此 1-1 页(p)e"4=o(p"4 由于S,s2是任意的,说明 (p)e"dp与s无关,它只是变量 t的函数。再根据已知条件(3),有 p),厂"(p叫=;厂1p 2 故σ()具有有限的增长指数,收敛横标就是s。从上面的不等式, 同时也可证积分是一致收敛的。 2/证明当t<0,g(1)=0 这时可选取图62中的闭合路径C,其 中C2是以原点为圆心,R为半径的圆 P平面 弧。由 Cauchy定理得, p(p)e 当t<0时,可以证明,在R→∞时,沿 C的积分趋于0(作变量代换p=, 这相当于将P平面上的圆弧CR变为二平 图62 面上的下半平面内的圆弧C,则由 Jordan引理,可证)。那么, 广o(p)"=-」,opk"d=0(<0),即 p(='s+e p(P)edp≡0(t<0) 3/证明这个积分定义q(1)的 Laplace变换

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 12 具有有限的增长指数。 在区域 Re 0 p  s 中，作闭曲线如图 6.1 所示，由于 (p) 在此区域 是解析的，因此，由 Cauchy 定理， ( ) d 0 C   p e p pt  ， 固定 1 2 s ,s ，而让    ，则由已知条件(2)， lim ( ) d 0 2 1          s i s i pt p e p ， 1 2 lim ( ) d 0. s i pt s i p e p          因此，            s i s i pt s i s i pt p e p p e p 2 2 1 1  ( ) d  ( ) d ， 由于 1 2 s ,s 是任意的，说明      s i s i pt p e p i ( ) d 2 1   与 s 无关，它只是变量 t 的函数。再根据已知条件(3)，有 s t s i s i s t s i s i p t s i s i p t e M p e p e p p e p i         2 ( ) d 2 ( ) d 2 1 ( ) d 2 1                     故 (t) 具有有限的增长指数，收敛横标就是 0 s 。从上面的不等式， 同时也可证积分是一致收敛的。 2/ 证明当 t  0，( ) 0. t  这时可选取图 6.2 中的闭合路径 C ，其 中 CR 是以原点为圆心， R 为半径的圆 弧。由 Cauchy 定理得， C ( ) d 0. pt  p e p   当 t  0 时，可以证明，在 R   时，沿 CR 的积分趋于 0 （作变量代换 p  iz ， 这相当于将 p 平面上的圆弧 CR 变为 z 平 面上的下半平面内的圆弧 CR  ，则由 Jordan 引理，可证）。那么， ( ) d   ( ) d  0 (  0)           p e p p e p t s i s i p t s i s i p t   ，即 1 ( ) ( ) d 0 ( 0). 2 s i pt s i t p e p t i            3/ 证明这个积分定义 (t) 的 Laplace 变换 图 6.2