Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU Chapter10行波法和分离变量法本征值问题 上章复习:数理方程的导出与定解问题:泛定方程加上定解条件(例如,初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等)。 目标:求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。 般定解问题的分解: L[=f,[=0.=0.[[可=f, g: 2=0,| p q: 0 u,le0=y. u,l0=y. uL0=0. u,lo=0 解出问题I、II得1,2,l3则一般问题的解为=l1+2+l3 求解问题I是基础,问题I可转化为I或II,问题III有多种解法。 bstract:求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等,这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用,在其使用条件下,自然导致了问题的核心一本征值问题。 求解常微分方程:一般先求通解,再用某些定解条件定其参数 求解偏微分方程,即使求得通解,亦难于由定解条件来确定解(因 为含有任意函数)一本征值问题可解决此类问题。 维无界空间域的自由振动问题达朗伯公式(不讲解) 1.行波法和d' Alembert公式(以无限长弦的自由振动为例) ln-a2l=0(-∞<x<∞)(无界区域) 其中q(x)和v(x)是已知函数。 P(x) y(x) 特征方程:sa(d)-a=0.解象」x-am=C1 于是作代换 l+at=C2 5=xa,原方程化简为-4aU=0解之得U=(5)+f(m),这是因为 n=x+ ar (x,)=U(5,),1=U;+Un,x=U5g+Um+U+Un, u=-aU talu=aU tau -au-aU
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 10 行波法和分离变量法 本征值问题 上章复习：数理方程的导出与定解问题：泛定方程加上定解条件（例如，初 始条件、边界条件、衔接条件、自然条件和周期条件等）。 目标：求一个微分方程的解满足确定条件例如初始条件和边界条件等的问题。 一般定解问题的分解： 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0, 0, , ~ , ~ 0, ~ , ~ 0, , , 0, 0, . . 0. 0. I II II t t t t t t t t L u f L u L u L u f g g u u u u u u u u = = = = = = = = = = = = = = = = = + + = = = = = = = = I 解出问题I、II、III得 1 2 3 u u u , , , 则一般问题的解为 u = u1 + u2 + u3 ， 求解问题 I 是基础，问题 II 可转化为 I 或 III，问题 III 有多种解法。 Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变 换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普 遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。 求解常微分方程：一般先求通解，再用某些定解条件定其参数； 求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来确定解（因 为含有任意函数）—本征值问题可解决此类问题。 一、 一维无界空间域的自由振动问题 达朗伯公式（不讲解） 1．行波法和 d’Alembert 公式（以无限长弦的自由振动为例）: ( ) 2 0 0 0 ( ), ( ); ( ), tt xx t t t u a u x u x u x = = − = − = = 无界区域 其中 (x) 和 (x) 是已知函数。 特征方程： 2 2 2 2 2 u u a t x = 0 d d 2 2 − = a t x . 解得 + = − = 2 1 x at C x at C .于是作代换 = + = − x at x at ，原方程化简为 4 0 2 − a U = .解之得 ( ) ( ) U = f 1 + f 2 ，这是因为 2 2 2 2 ( , ) ( , ), , , , , x xx t tt u x t U u U U u U U U U u aU aU u a U a U a U a U = = + = + + + = − + = + − −
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 其中f(5)和f2(n)是分别以ξ,n为宗量的任意函数。因此, (x.D)=f(x-an)+f2(x+ar),将之代入初始条件,有 f(x)+f2(x)=(x) d1(x)+2(x)=v(x)→f(x)-f2(x) y(a)da (x)=9x) y(a)da+ 这就确定了f和f2的函数形式 5(x)=o(x)+IIw(ade u(x,t)=o(x-ar)+p(x+at x na r-a ia oda d' Alembe公式。 物理意义: 在时空点(x,1)波形如f(x-am),到了下一时空点 (x+△x,t+△t 波形变为如 中X和t 仍形如 fLx+Ar-a(t+At)]=fL(x-at)+Ax-aAr]= f(x-ar ) 则x=aM→a=→沿之速度,也就是说,f(x-a) 是一个沿文轴正方向以速度a传播的行波;同理, f2(x+an)是一个沿轴负方向以速度a传播的行波。 在 d'alembert公式中 第一项表示由初位移激发的行波在t=0时的波形为o(x),以后分成相等 的两部分,独立地向左右传播,速率均为a 第二项表示由初速度激发的行波,t=0时在x处的速度为y(x),在t时刻, 它将左右对称地扩展到[x-a,x+ad]的范围,传播速率也都是a 另外需要说明的是,这里我们没有明确写出边界条件,即 (x,1)→>0或(x,),有界。严格来说,的确应该明确写出无穷远
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 2 其 中 ( ) f 1 和 ( ) f 2 是 分 别 以 , 为 宗 量 的 任 意 函 数 。 因 此 ， ( , ) ( ) ( ) u x t = f 1 x − at + f 2 x + at ，将之代入初始条件，有 1 2 f x f x x ( ) ( ) ( ); + = 0 ' ' 1 2 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d . x x af x af x x f x f x C a − + = − = − + 0 0 0 1 0 2 ( ) 1 ( ) ( )d , 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( )d . 2 2 2 x x x x x C f x a x C f x a = − + = + − 这就确定了 1 f 和 2 f 的函数形式， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + — d’Alembert 公式。 2．物理意义： 在时空点 ( , ) xt 波形如 1 f x at ( ) − ，到了下一时空点 ( , ) x x t t + + , 波 形 变 为 如 1 1 1 f x x a t t f x at x a t f x at [ ( )] [( ) ] ( ), + − + = − + − = − 仍形如 则 ˆ x x a t a x t = = → 沿 之速度, 也就是说， ( ) f 1 x − at 是一个沿 x ˆ 轴正方向以速度 a 传播的行波；同理， ( ) f 2 x + at 是一个沿 x ˆ 轴负方向以速度 a 传播的行波。 在 d’Alembert 公式中， 第一项表示由初位移激发的行波在 t = 0 时的波形为 (x) ，以后分成相等 的两部分，独立地向左右传播，速率均为 a . 第二项表示由初速度激发的行波， t = 0 时在 x 处的速度为 (x) ，在 t 时刻， 它将左右对称地扩展到 x − at, x + at 的范围，传播速率也都是 a . 另外需要说明的是，这里我们没有明确写出边界条件，即 ( , ) → 0 x→ u x t 或 x→ u(x,t) 有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 的条件。但是,对具体问题而言,这个条件可以由(x)和y(x)的具体形 式来得到保证。o(x)和v(x)总是会局限在一个有限的范围内,即,当增 大时,(x)和v(x)都会足够快地趋于0.因此,从d’ Alembert解就可 以看出,在有限的时间内,(x,1)总还是在一个有限的范围内才不为0.从 概念上说,所谓无穷长弦,当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示: 在我们所考察的时间和空间范围内,端点的影响可以忽略不计 二、一维半无界域的自由振动问题初始条件的延拓(不讲解) 1.齐次边界条件:端点(x=0)固定 0(x≥0) l-0=o(x),u1|==v(x); 其中p(x)和v(x)是已知函数。因为(x)和y(x)以及(x,1)仅仅在x≥0有 定义,不能直接应用无界区域的 d' Alembert公式 为了能够应用 d alembert公式,要设法将p(x)和v(x)以及l(x,1)的 定义域延拓到x<0(与 Fourier展开时所作的延拓相似),并要满足边界 条件-。=0.如果这样的解(x,1)(-<x<∞)找到了,那么它的x≥20的 部分就是原定解问题的解 Jo(x) x20, y(x)x≥0, x<0 <0 U(x,)= d(x-an)+Φ(x+a),1 H(ade 为确定Φ,屮,将之代入边界条件,得 (x)==a0)+oa)+1ry(ada=0(≥0) 记y=a,上式改写为
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 3 的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由 (x) 和 (x) 的具体形 式来得到保证。 (x) 和 (x) 总是会局限在一个有限的范围内，即，当 x 增 大时， (x) 和 (x) 都会足够快地趋于 0 . 因此，从 d’Alembert 解就可 以看出，在有限的时间内， u(x,t) 总还是在一个有限的范围内才不为 0 . 从 概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示： 在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。 二、 一维半无界域的自由振动问题 初始条件的延拓（不讲解） 1．齐次边界条件：端点 ( 0) x = 固定： ( ) 2 0 0 0 0 0 , ( ), ( ); 0, tt xx t t t x u a u x u x u x u = = = − = = = = 其中 (x) 和 (x) 是已知函数。因为 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 仅仅在 x 0 有 定义，不能直接应用 无界区域 的 d’Alembert 公式。 为了能够应用 d’Alembert 公式，要设法将 (x) 和 (x) 以及 u(x,t) 的 定义域延拓到 x 0 （与 Fourier 展开时所作的延拓相似），并要满足边界 条件 0 0 = x= u . 如果这样的解 u x t x ( , ) (− ) 找到了，那么它的 x 0 的 部分就是原定解问题的解。 ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x = ( ) 0, ( ) ? 0. x x x x = ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d , 2 2 x at x at x at x at U x t a + − − + + = + 为确定 , ，将之代入边界条件，得 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d 0 2 2 at x at at at U x t a = − − + = + = (t 0). 记 y = at ，上式改写为
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU d(-y)+d(y),1 xmn人、(akda=0(≥0) 由此可见,Φ,平的形式(当其宗量为负值时)可以取为(取法不唯 只要满足上式即可)Φ(-y)=-Φ(y),(-y)=-(y)(≥0) un=0(-∞ 问题转化为{n=d(x) ∫o(x) -(-x)x<0 y(x)x≥0, =0=平(x) -v(-x)x<0 注意到,x+a一定大于等于0(因为x≥0),但x-at可正可负,因此 当x-at≥0,即t≤-时,u(x,t) (x-a)+(x+at),1 y(a)da ,即>时 p(x+ar)-(at-x) y(a)da+y(B)dB 2 p(x+at)-( y(a)de 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解 p(x-ar)+o(x+at ),I (x+ar l(x,) 2 x"(a)da(≤-) p(x+at)-(at-x) y(a)da((>-) 物理意义:此解的t≤一部分与无界区域问题的解形式 上是完全一样的,这说明了这样一个事实,对弦上某一点 x来说,由于波的传播速度是a,来自x=0端点的扰动需
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 4 ( ) ( ) 1 ( )d 0 2 2 y y y y a − − + + = (y 0). 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为（取法不唯一， 只要满足上式即可） (−y) = −( y) ，(−y) = −( y) (y 0). 问题转化为 ( ) 2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x = = − = − = = − − = = − − 注意到， x + at 一定大于等于 0 （因为 x 0 ），但 x − at 可正可负，因此， 当 x − at 0 ，即 a x t 时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 当 x − at 0 ，即 a x t 时， 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( ) d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a + − + − + − − − + + = + + − − + − − = + + + − − = + 综上所述，我们得到原定解问题（ x 0 ）的解 ( ) ( ) 1 ( )d ( ); 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( ). 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a + − + − − + + + = + − − + 物理意义：此解的 a x t 部分与无界区域问题的解形式 上是完全一样的，这说明了这样一个事实，对弦上某一点 x 来说，由于波的传播速度是 a ，来自 x = 0 端点的扰动需
Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMaaPhys FDU 要经历x的时间才能影响到x点。当t≤x时,端点的影响尚未到达x点,这时x 点的振动就如同无界弦一样。 在端点固定的情况下,端点处永远是波节,所作延拓是奇延拓。当波在端点 处发生反射时,反射波位相将与入射波形相反,即位相有一突变值x一半波损失 (详见教材p202-203):当波碰到原点时立刻变号(方向与大小均变号),即x=0处 的合成波是波节u(x)=0反射后反射波继续传播,不过此波与原来波的位相有 突变值(大小与方向均变号) 但是,在端点自由的情况下(如半无界杆的x=0端是自由的) ul_=p(x);u,Lo=y(x), x<O(x)=/(x)x≥2 q(x)x≥0, x<0 (x,D) d(x-an)+Φ(x+a) ade 为确定Φ,屮,将之代入边界条件,得
Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 5 要经历 a x 的时间才能影响到 x 点。当 a x t 时，端点的影响尚未到达 x 点，这时 x 点的振动就如同无界弦一样。 在端点固定的情况下，端点处永远是波节，所作延拓是奇延拓。当波在端点 处发生反射时，反射波位相将与入射波形相反，即位相有一突变值 —半波损失 （详见教材 pp202-203）：当波碰到原点时立刻变号（方向与大小均变号），即 x = 0 处 的合成波是波节 u x( ) 0; = 反射后反射波继续传播，不过此波与原来波的位相有一 突变值 (大小与方向均变号)。 但是，在端点自由的情况下（如半无界杆的 x = 0 端是自由的）： ( ) 2 0 0 0 0 0 , ( ); ( ), 0. tt xx t t t x x u a u x u x u x u = = = − = = = = ( ) 0; ( ) ? 0. x x x x = ( ) 0; ( ) ? 0. x x x x = ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d , 2 2 x at x at x at x at u x t a + − − + + = + 为确定 , ，将之代入边界条件，得