复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第六章 Laplace变换 Laplace transform and delta function

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 解]由 而si 所以 例4求snon的象函数。 [解一]由snt 当>0时 P P 列(P)= di=l 2i p>Im sin ot (Rep>llmo) 例5求cost, cos or的象函数。 [解]由于 所以 +1 p2+1 P 同样,由 sin ot← ,(Rep>mo),所以 cos ot=-(sin ot )e-p sin(o0) (Rep>lmo) p to 例6求r(n=0,1,2,…)的象函数 [解]由H()-(Rep>0)和积分定理得

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 6 [解] 由 p a e at   1 ，而   it it e e i t    2 1 sin ，所以 1 1 1 1 2 1 sin 2              i p i p i p t , Re p  0. 例 4 求 sint 的象函数。 [解一] 由 1 1 sin 2   p t ， 当   0 时， 2 2 2 1 1 1 sin                p p t , Re p  0. [解二]   ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 2 2 1 ( ) sin d d 2 1 d d 2 1 1 1 , Re Im 2 pt p i t p i t p i t p i t p te t e e t i e t e t i p i p i p i p                                                         2 2 sin      p t , Re p  Im . 例 5 求 cost ，cost 的象函数。 [解] 由于 1 1 sin 2   p t ，所以，   1 sin(0) 1 1 cos sin 2 2        p p p t t p ，Re p  0. 同样，由 2 2 sin      p t , Re p  Im  ，所以，   2 2 2 2 1 1 cos sin ' sin( 0) , p t t p p p                      Re p  Im . 例 6 求 t (n  0,1,2, ) n 的象函数。 [解] 由 p H t 1 ( )  Re p  0 和积分定理得

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU H(odta> P P 或者t←[te-pdr= tde p=0+ dt t2 或12,(Rep>0) pp =[t2d 少2,所以,台,或(Rep>o p3 3 般地有,或rReP>0) e「e"e"d= 例7 P r"e← (n=0,1,2…) (P-a) 例7求r“(Rea>-1)的象函数。 解列p2= ,(Rep>0) 所以t← r(a+1) (Re p 例8求H(t-)的象函数。 解]由H()+-(Rep>0),所以,根据延迟定理,有 H(t-r)=H(1)·H(-7)4>e P 例9求sno(t-r)H(-r),sno(-r)H1()的象函数。 解]由sno

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 7 2 0 1 1 ( )d p p p t H t t t     , Re p  0, 或者 2 0 0 0 1 1 1 d d 0 d , pt pt pt t t t te t t e e t p p p                  Re p  0. 2 2 3 0 1 1 d 2! t t p t t p p      , 或 3 2 2! p t  , Re p  0. 3 3 2 4 0 2! 2! d 3 t t p t t p p      , 所以， 4 3 1 3! p t  ，或 4 3 3! p t  Re p  0. 一般地有 1 1 !  n n n p t , 或 1 !  n n p n t Re p  0. 例 7 0 1 1 d , ! ,( 0,1,2, ). ( ) t t pt n t n e e e t p n t e n p                 例 7' 求 (Re  1)  t 的象函数。 [解] 1 1 0 0 1 ( 1) ( ) d d pt pt p t e t e p p                         , Re p  0. 所以 1 ( 1)        p t , Re p  0. 例 8 求 H(t  ) 的象函数。 [解]由 p H t 1 ( )  Re p  0 ，所以，根据延迟定理，有 1 ( ) ( ) ( ) p p e H t H t H t e p p              ，Re p  0. 例 9 求 sin(t  )Ht  ，sin(t  )Ht 的象函数。 [解]由 2 2 sin      p t

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 应用延迟定理,有simo(t-r)H(-)-0,e.(t≥x) p+o sinO(t-T)H(O=(sin @t cos @T-cos ot sin@r)H(O) sin otH(Ocos @T-cos otH(SinoR P p to p+o p2+o( ocos ar-psin @r)≥O 注意:*t∈[0,]或约定o()=0(t<0)∴上述所有q(1)应理解为o(t)H(t), 即(t)H() P *在容易引起混淆的情况下,要特别标明阶梯函数! (t>0) 又t-r> (t>r) (2)周期函数的象函数 设q()是周期为T的函数,即(+7)=(t)由定义有 列(p)=w0d=rmwo°de 作代换r=t-nT,上式成为 列(p)=∑(x+mn) e-p(r+nndt=oedr∑c (3)作幂级数展开 例10求()=sinv的象函数 解]00:m=∑=,而 (2m+1) 2m+1 +1) /m(2m+) 于是

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 8 应用延迟定理，有           p e p t H t      2 2 sin .（ t  ）       2 2 2 2 2 2 sin ( ) sin cos cos sin ( ) sin ( )cos cos ( )sin cos sin 1 cos sin ( 0). t H t t t H t tH t tH t p p p p t p                                 注意：* t  [0, ] 或约定 ( ) 0( 0) t t    上述所有 ()t 应理解为 ( ) ( ), t H t 即   ( ) ( ) ( ). t H t p   **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！ *** 1 1 p  ， 2 1 t p  2 1 1 t t 1 ( 0). p p      又 2 1 ( ). p t t p        （2）周期函数的象函数 设 (t) 是周期为 T 的函数，即   ( ) ( ). t T t   由定义有           0 ( 1) 0 ( ) ( ) d ( ) d n n T nT pt pt  p  t e t  t e t ， 作代换   t  nT ，上式成为 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d . 1 T p T T p nT p npT pT n n e p nT e e e e                                   （3）作幂级数展开 例 10 求 (t)  sin t 的象函数。 [解]             0 2 2 1 2 1 ! 1 ( ) sin m m m t m  t t ，而   2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 !! 1) 2 2 1 (            m m m m p m p m t  ，于是

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU (v(2m+vz(-)”(2m+ 列(p)=2(2m+21325(2m+)2"p 2 所以,sin√ 其中用到了r(a+1)=a(a),以及I() 二、 Laplace变换的反演问题与 梅林反演公式( Mellin inversion formule) 1反演问题[习惯于正问题,换种思维问反问题(有时候特别管用);正问题有 必然结果,反问题不一定,存在性?唯一性?] 位移定理:如果列(p)(1),λ是复常数,则 列P+4)分()e 证明:ok2→pk2”d=(+m)d=列(p+) i象函数求导定理:如果列(P)9(1),则列(p)(-1)o() 一般地,对自然数n,有一般地,对自然数n,有 (p)4(-1)o() 证明 (p)=o((e"pdt=co( e"p dr n(-()e-"d(-)0( ⅲ象函数积分定理:如果列(P)4oO),而且J((Rep>s)收敛, 则∫( q(1) [说明]这里的积分是复变积分,其上限应理解为Rep→∞,并且因 其积分路径在可(p)的解析区域,所以与积分路径无关(沿正 实轴积分)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 9                 3 3 0 0 1 2 2 1 4 3 3 0 2 2 1 2 1 !! 1 2 1 !! ( ) 2 1 ! 2 1 ! 2 2 2 1 . ! 4 2 2 m m m m m m m m m p m m m m p m m p p p e m p p p                             所以， 1 4 3 2 sin , 2 p t e p    其中用到了 ( 1) () ，以及  )   2 1 ( . 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果 (p) (t) ，是复常数，则 ( ) .   t p t e        证明：           d d ( ) 0 0                      t e t e e t t e t p t t p t p t . ii. 象函数求导定理：如果 (p) (t) ，则 ( p)  (t)t. 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有   p t t n n  ( )  ( )  . 证明：           0 0 0 d d d d ( ) d ( ) . pt pt pt p t e t t e t p p t t e t t t                            iii. 象函数积分定理：如果 (p) (t) ，而且   p  (z)dz   Re 0 p  s 收敛， 则 ( ) ( )d . p t z z t      [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p  ，并且因 其积分路径在 (p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 证明 补充说明上式中如果令P→0,则有()d=°g(t) 可以用来计算[(d形的积分,例如 ⅳv.卷积定理:如果可(P)台(1)页(P)>Q2(t),则 页((P)分9()m(-对x=(-(d 证明 p(r)p, (t-tdr ()p2 (t-rldr edr 这个先积τ、后积t的二次积分, 其积分区域如图所示,改变积分次序, 上式成为 作变量代换u=t-r,且t=r时u=0(即位移常量r) ∫cc-yr=(xro (P)吗2(P) dO=(t-1") 平面波e"的FT为δ函数,其定义为 f()5(t-t)dt=f() f()= f(oje d ii. Consider f(1)=0()H(t)e-“,其FI:

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 10 证明：   0 0 0 ( )d ( ) d d ( ) d d ( ) d . zt zt p p p pt z z t e t z t e z t t t e t t t                                     [补充说明]上式中如果令 p 0 ，则有      0 0 d ( ) ( )d t t t z z   ， 可以用来计算   0 d ( ) t t f t 形的积分，例如： 2 0 0 sin 1 d d . 1 2 t t p t p         iv. 卷积定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 2 2  p  t  p  t ，则 1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d . t t             p p t t       证明：             0 0 1 2 0 1 2 ( ) ( )d d ( ) ( )d t e t t pt t t           这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 1 2 1 2 0 0 ( ) ( )d ( ) ( ) d d . t pt t t e t                           作变量代换 u  t  ，且 t  时 u  0 （即位移常量  ）     1 2 1 2 0 0 0 1 2 ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d . pt p pu t e t e u e u p p                                   ⅰ. 1 ( ')d ( ') 2 ( ) ( ')d ( '). i t t e t t f t t t t f t                        平面波 i t e  的 FT 为  函数，其定义为 ⅱ. 1 ( ) ( ) d , 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f f t e t f t f e                          ⅲ. Consider ( ) ( ) ( ) st f t t H t e    ，其 FT：