西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.2根轨迹绘制的基本准则根轨迹的连续性和对称性用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数K。的180度根轨迹的性质。1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益K。的函数。当K。从O到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。2、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。11
11 4.2 根轨迹绘制的基本准则 2、根轨迹的对称性： 一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭 复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通 过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线 和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨 迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度 根轨迹的性质。 Kg 根轨迹的连续性和对称性 1、根轨迹的连续性： 闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到 无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续 变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。 Kg Kg
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY4.2根轨迹绘制的基本准则根轨迹的支数和起始点3、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当K。从O到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数4、根轨迹的起点和终点：m根轨迹方程为：II(s+z)1i-1nKgII(s+p,)j=lK。=0时为起点，K。=o0时为终点。当 K。=0时，只有s=-p,(j=l～n)时，上式才能成立。而-Pj是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。12
12 4.2 根轨迹绘制的基本准则 4、根轨迹的起点和终点： g j n j m i i K s p s z 1 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = 根轨迹方程为： 根轨迹的支数和起始点 n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复 平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。 Kg 当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统 有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。 s p ( j 1 ~ n) = − j = j = 0 − p Kg 3、根轨迹的支数： Kg = 0 时为起点，Kg = 时为终点
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIYEESTY4.2根轨迹绘制的基本准则根轨迹的起点和终点当 K。=∞时，① s=-z,(i=1～m)，上式成立。 z,是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当s→8时mII(s+ z)1i=1=0= lim根轨迹方程左边=limnn-m585-80II(s+ p,)II(s+ p,)j=1j=11=0根轨迹方程右边=limKKg→08我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？13
13 4.2 根轨迹绘制的基本准则 0 ( ) 1 lim ( ) ( ) lim 1 1 1 = + = + + = − = → = = → n m j j s j n j m i i s s p s p s z 根轨迹方程左边 0 1 = lim − = → g Kg K 根轨迹方程右边 我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点 的个数等于极点数。 那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？ 根轨迹的起点和终点 s → i s z (i 1~ m) − z 当 Kg = 时，① = − i = ，上式成立。 是开环传递 函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m 个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在 无穷远处。 由根轨迹方程知：当 时
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.2根轨迹绘制的基本准则根轨迹的渐近线5.根轨迹的渐近线：若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益K。一→oo时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。n由根轨迹方程可得：II(s+ p,)Jj=l=-KmII(s +z)i=1 YII(s+pj)-μsn-1 +...+as+ao = -K,j=lmsm+bm--ism-1 +...+b,s+boI(s + z))i=1an-1=Pj，bm-1=≥zi式中1=1i=l14
14 4.2 根轨迹绘制的基本准则 根轨迹的渐近线 5.根轨迹的渐近线： 若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益 Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹 趋向无穷远的方位可由渐近线决定。 m g i i j n j K s z s p = − + + = = 1 1 ( ) ( ) 由根轨迹方程可得： m g m m n n n m i i j n j K s b s b s b s a s a s a s z s p = − + + + + + + + + = + + − − − − = = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) = − = n j an p j 1 1 = − = m i m i b z 1 式中 ， 1
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.2根轨迹绘制的基本准则根轨迹的渐近线sn-m +(an-1 -bm-1)sn-m-1 +..= -K,当K。→00，由于m<n，故s→o0满足根轨迹方程，上式近似为sn-m +(an-1 -bm-1)sn-m-1 ,=-Ks"-"m(+°n-1-bm=l)=-KgS两边开n-m次方s(1 + an-1 -b,1)n-m =(-Kg)n-ms利用二项式定理K(K-1)K(K-1)..(K-I+1)x' +..(1+x)K =1+ Kx+(-1<x<1)2!I!1当×<时，(1+x)*≥1+Kx，令×=ar---bm-lKsn-m1an-1 -bm-1=(-K.)n-ms(1 +sn-m15
15 4.2 根轨迹绘制的基本准则 根轨迹的渐近线 g n m n m n m s + a −b s + = −K − − − − − ( 1 1 ) 1 当Kg→∞，由于m<n，故s→∞满足根轨迹方程，上式近似为 g n m n m n m s + a −b s = −K − − − − − 1 1 1 ( ) g n m n m K s a b s = − − + − − − (1 ) 1 1 两边开n-m次方 n m g n m n m K s a b s − − − − = − − + 1 1 1 1 (1 ) ( ) 利用二项式定理 ( 1 1) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 + − − − + + + − + = + + x x I K K K I x K K x K x K I 当 x 1 时， (1+ x) K 1+ Kx ，令 ， s a b x n−1 − m−1 = n m K − = 1 n m g n m K s a b n m s − − − = − − − + 1 1 1 ) ( ) 1 (1