西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.1根轨迹的基本概念根轨迹方程闭环传递函数为：2根轨迹方程对如下结构图的系统：G(s)G(s)Φ(s)R(s)1+G(s)H(s)C(s)1+G(s)G(s)令闭环传递函数的分母为零，得闭环系统的特征方程H(s)1+G,(s)=0若用开环传递函数来讨论，则满足G,(s)=-1的点就是闭环系统特征方程的根。也就是说满足G(s)=一1的s值必定是根轨迹上的点，故称G(s)=一1为根轨迹方程。若令II(s + z,)II(s +z,)i=lG,(s)= K.则K。.为根轨迹方程。=-1nII(s+ p,)I(s + p,)j=1j=l6
6 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹方程 对如下结构图的系统： R(s) C(s) - G(s) H(s) 闭环传递函数为： 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s s + k = + = 2 根轨迹方程 令闭环传递函数的分母为零， 得闭环系统的特征方程 1+Gk (s) = 0 则 1 为根轨迹方程。 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z K 若用开环传递函数来讨论，则满足 的点就是闭环系 统特征方程的根。也就是说满足 的s值必定是根轨迹 上的点，故称 为根轨迹方程。若令 Gk (s) = −1 Gk (s) = −1 Gk (s) = −1 = = + + = n j j m i i k g s p s z G s K 1 1 ( ) ( ) ( )
西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITT4.1根轨迹的基本概念根轨迹方程mII(s +z.)K.i=l=-1II(s+ p,)j=1式中，一z、一p,为已知的开环零极点；K.从零变到无穷。1
7 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹方程 1 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z K 式中，－zi、－pj为已知的开环零极点；Kg从零变到无穷
西安交通大学EE'ANJIAOTONGUNIYEESITT4.1根轨迹的基本概念根轨迹的幅值和相角条件由于G(s)是复数，上式可写成：IG(s)ZG,(s)=-17(s +z,)I或K=11II(s+ p,)Ij=1)-ZZ(s + p,)=±(2k+1)元, k =0,1,2...(s+z)i=1j=l上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应的K。值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的K。值时，才使用幅值条件
8 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹的幅值和相角条件 由于Gk (s)是复数，上式可写成： |Gk (s) |Gk (s) = −1 上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。 1 |( ) | |( ) | 1 1 = + + = = n j j m i i g s p s z 或 K ( ) ( ) (2 1) 0,1,2. 1 1 + − + = + = = = s z s p k k n j j m i i ， 根据上述两个条件，可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对应 的Kg值。应当指出，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。 这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨 迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。 其中相角条件是零点到根轨迹上的某点的向量的相角之和减去极点 到根轨迹上的某点的向量的相角之和等于180度的奇数倍，因此也称 满足上述条件的根轨迹为180度等相角根轨迹
西安交通大学EE'AN根轨迹的幅值和相角条件IAOTONGUNIVEESTY4.1根轨迹的基本概念tj例：如图所示二阶系统3KR(s)C(s)2s(0.5s + 1)12K0(s)=7 +2$+2K闭环传递函数：X02-1s2+2s+2K =0特征方程为：-1特征根为：Si2=-1±/1-2K-2采用试探法可以确定根轨迹上的点。-3在实际绘制根轨迹时不采用试探法而是应用以根轨迹方程为基础建立起来的绘制根轨迹的基本法则
9 4.1 根轨迹的基本概念 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 根轨迹的幅值和相角条件 例：如图所示二阶系统， s(0.5s +1) R(s) K C(s) - 闭环传递函数： s s K K s 2 2 2 ( ) 2 + + = 特征方程为： 2 2 0 2 s + s + K = 特征根为： s1,2 = −1 1− 2K 采用试探法可以确定根轨迹上的点。 在实际绘制根轨迹时不采用试探法。 而是应用以根轨迹方程为基础建立起 来的绘制根轨迹的基本法则
西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第二节根限轨迹绘制的基本准则10
10 第二节 根轨迹绘制的基本准则