因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数 f(z)=…+Cn(z-20)n+.+C-1(z-z0)1 0c1 0 .+ 后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下 c1(z-z0)-的一项等于2πic外,其余各项积分 都等于零,所以中f(z)dz=2ier 其中c-1就称为f(z)在z的留数,记作ReS[(z)0] Res[ f(z), z0]=0:f(z)dz (52.1) 几L Reslf(z),z0]=c-1
17 因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数 f(z)=...+c−n (z−z0 ) −n+...+c−1 (z−z0 ) −1 +c0+c1 (z−z0 )+...+cn (z−z0 ) n+... 后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c −1 (z−z0 ) −1的一项等于2ic−1外, 其余各项积分 都等于零, 所以 ( )d 2π . = −1 f z z ic C 0 1 0 Res[ ( ), ] ( )d (5.2.1) 2 1 Res[ ( ), ] = − = f z z c f z z i f z z C 其中c−1就称为f(z)在z0的留数, 记作Res[f(z),z0 ], 即
定理一(留数定理)设函数(2)在区域D内除有阡 个孤立奇点z1=2,,xn外处处解析C是D内包围 诸奇点的一条正向简单闭曲线,则 f(z)dz=2兀i∑Resf(z),zk](5.2.3) k=1 D
18 定理一(留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限 个孤立奇点z1 ,z2 ,...,zn外处处解析. C是D内包围 诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 ( )d 2π Res[ ( ), ]. (5.2.3) 1 = = n k k C f z z i f z z D z1 z z2 3 zn C1 C2 C3 Cn C
证]把在C内的孤立奇点zk(k=-1,2,…,m)用互不 包含的正向简单闭曲线C围绕起来,则根据复 合闭路定理有 ∮f()dz=9f(dz+9()dz+…+()da 2 T i ff()dz=Res[f(2), z1+ Res[f(2), z2] +…+ReS[f(z),zn] 即「/(2)d2=2∑Rst(2) k=1
19 [证] 把在C内的孤立奇点zk (k=1,2,...,n)用互不 包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复 合闭路定理有 = = + + = + = + + + n k k C n C C C C C f z z i f z z f z z f z z f z z f z z i f z z f z z f z z f z z n 1 1 2 ( )d 2π Res[ ( ), ]. Res[ ( ), ] ( )d Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] 2π 1 ( )d ( )d ( )d ( )d . 1 2 即