5.函数在无穷远点的性态如果函数(z)在无 穷远点z=∞的去心邻域R<z∞内解析,称点 为2)的孤立奇点 作变换=z,并且规定这个变换把扩充z平面上的 无穷远点z=∞映射成扩充t平面上的点纟0,则扩充 平面z上每一个向无穷远点收敛的序列{=n}与扩充 平面上向零收敛的序列=n相对应反过来 也是这样
7 5. 函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无 穷远点z=的去心邻域R<|z|<内解析, 称点 为f(z)的孤立奇点. 作变换 z t 1 = , 并且规定这个变换把扩充 z 平面上的 无穷远点z=映射成扩充t平面上的点t=0, 则扩充 平面 z 上每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与扩充 t 平面上向零收敛的序列 = n n z t 1 相对应. 反过来 也是这样
同时,z把扩充z平面上∞的去心邻域 R<={<+∞映射成扩充t平面上原点的去心邻域 0t R,又 1(x)=()=0() 这样,我们可把在去心邻域R<|z<+∞对f(z)的 研究变为在0R内对0)的研究 显然在0+R内解析,所以z=0是(1)的 孤立奇点
8 同 时, z t 1 = 把扩充 z 平面上的去心邻域 R<|z|<+映射成扩充 t 平面上原点的去心邻域 R t 1 0 | | , 又 ) ( ) 1 ( ) ( t t f z = f = . 这样, 我们可把在去心邻域 R<|z|<+对 f(z)的 研究变为在 R t 1 0 | | 内对(t)的研究. 显然(t)在 R t 1 0 | | 内解析, 所以 z=0 是(t)的 孤立奇点
规定,如果t=0是()的可去奇点,m级极点或 本性奇点,则称点z=∞是z)的可去奇点,m级 极点或本性奇点 由于(z)在Rκ+∞内解析,所以在此圆环域 内可以展开成洛朗级数,根据(445)与(448), f(2)=∑ C Z+C+)C. 1= 1rf(5) (5.1.5) n=2mic2d(n=0,±1±2, C为R<+0内绕原点任何一条简单正向闭 曲线
9 规定, 如果t=0是(t)的可去奇点, m级极点或 本性奇点, 则称点z=是f(z)的可去奇点, m级 极点或本性奇点. 由于f(z)在R<|z|<+内解析, 所以在此圆环域 内可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8), (5.1.5) d ( 0, 1, 2, ( ) 2π 1 ( ) 1 1 0 1 = = = + + + = = − − n f i c f z c z c c z C n n n n n n n n C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭 曲线
因此,∞O)在圆环城04R内的洛朗级数可由 51.5)得到为 0()=∑cn1"+Co+ n=1 n=1 (51.6) 如果在级数(5.16)中i不含负幂项,i)含有有 狠多的负幂项,且tm为最高幂,ⅲ)含有无穷多 的负幂项,则t0是o(t)的i可去奇点,im级极 点,i)本性奇点
10 如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有 限多的负幂项, 且t −m为最高幂, iii)含有无穷多 的负幂项, 则t=0是(t)的i)可去奇点,ii)m级极 点, iii)本性奇点. 因 此, (t)在圆环域 R t 1 0 | | 内的洛朗级数可由 (5.1.5)得到为 = − = = − + + 1 0 1 ( ) n n n n n n t c t c c t (5.1.6)
因此,在级数(51.5)中 i)不含正幂项 i)含有限多的正幂项,且zm为最高幂 i)含有无穷多的正幂项; 则z=∞是(z)的 i)可去奇点; im级极点 i)性奇点
11 因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项; ii)含有限多的正幂项, 且z m为最高幂; iii)含有无穷多的正幂项; 则z=是f(z)的 i)可去奇点; ii)m级极点; iii)本性奇点