第1节 第九章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 束
目录 上页 下页 返回 结束 第1节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分 第九章 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为4(x,y), (51,7,) 为计算此构件的质量，采用 经 分割，近似，求和，取极限” 可得 A)As, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可得 ( , ) . 1 n i i i i M s 为计算此构件的质量, i s Mi1 Mi ( , ) i i 1.引例 曲线形构件的质量 采用
2.对弧长的曲线积分的定义 设L=AB为xOy平面内的一条光滑曲线，函数x,y) 是定义在L上的有界函数.在L上任意插入分点 A=M,M1,M2,,M1,M=B, 将L分成n个小段，记As,=M-M,(i=1,2,…,n),同时 △s也表示其长度.在△s上任取一点(5，n),作乘积 5,,)△s,(i=1,2,…,n),并作和式 ∑f(5,n,)△s 记入=max{△s,},如果不论如何分割及(5，n)如何选 l<i<n 取，极限 lim 0 ∑f(5,n,)As, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2.对弧长的曲线积分的定义 A＝M0，M1，M2，…，Mn-1，Mn ＝B， 设 为xOy平面内的一条光滑曲线，函数f(x，y) 是定义在L上的有界函数．在L上任意插入分点 L AB 将L分成n个小段，记 ，同时 Δsi也表示其长度．在Δsi上任取一点(ξi ,ηi )，作乘积 f(ξi ,ηi )Δsi (i＝1,2，…，n)，并作和式 记 ，如果不论如何分割及(ξi ,ηi )如何选 取，极限 1 ( 1,2, , ) i i i s M M i n 1 ( , ) . n i i i i f s 1 =max{ }i i n s 0 1 lim ( , ) n i i i i f s
都存在，则称此极限值为函数x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫f(x,y)d,即 fx,yd=lm∑f5n)△ -0 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 都存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线. ( , ) , d L f x y s 即 0 1 ( , ) lim ( , ) . d n i i i L i f x y s f s
3.对弧长的曲线积分的性质 四j,(x,ds=kfx,ds (k为常数)： (2)∫.[fx,±gx,小as=J,fxds±，83，ds (3)Jf(ds=dsds ( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 3.对弧长的曲线积分的性质 (1) ( , )d ( , )d L L kf x y s k f x y s （k为常数); (2) ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d ; L L L f x y g x y s f x y s g x y s 1 2 1 2 (3) ( , )d ( , )d ( , )d ( ). L L L f x y s f x y s f x y s L L L