第一步相当于配平方项 x1=y1-y2 f∫=2xx2-6x2x3+2x2x1 yi+y2 2 8 V1J3-8V2y 第二步相当于配方: 2 f=(4y2-2.2y12y3+4y3)-2y2-2y32-8y2y3 (2y1-2y3)2-2y2-2y3-8y2y3 2 2 2 2 2 2 y3 3 2-3
第一步相当于配平方项: 2 6 2 . 1 2 2 3 3 1 f = x x − x x + x x , 1 1 2 x = y − y , 2 1 2 x = y + y . 3 3 x = y 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 = y − y − y y − y y , 2 1 1 1 3 y = z + z , 2 2 y = z . 3 3 y = z 第 二步相当于配方: 2 3 2 3 2 2 2 1 3 3 2 (4 1 2 2 2 4 ) 2 2 8 2 1 f = y − y y + y − y − y − y y 2 3 2 3 2 2 2 (2 1 2 3 ) 2 2 8 2 1 = y − y − y − y − y y 2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 8 2 1 = z − z − z − z z
第三步相当于配方: f=12-22-232-8=2=3 z12-2(=2+2z22z2+4z3)+6=32 (2z2+4=3)2+6 +6 2
, 1 u1 z = 2 , 2 1 2 u2 u3 第 三步相当于配方: z = − − 2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 8 2 1 f = z − z − z − z z . 3 u3 z = 2 3 2 2 3 3 2 2 2 1 2( 2 2 4 ) 6 2 1 = z − z + z z + z + z 2 3 2 2 3 2 1 (2 4 ) 6 2 1 2 1 = z − z + z + z 6 . 2 1 2 1 2 3 2 2 2 = u1 − u + u
实际上对满秩阵Q我们有更强的结果. 任何一个非奇异对称矩阵A,均能够找 到一个满秩的矩阵Q,使得QIAQ为对角元为1或 1的对角阵,且1的个数(正惯性指数和-1的个 数(负惯性指数)不因Q不同而变化。 实际上,注意到任何标准型: f(x,x2…xn)=a1x2+a2x2+…+amx2 都可经线型变换: y1=√a1x,y2=√a2k2,"’,=am 化为 f∫=±y1±y y
都可经线型变换： 推论3.1任何一个非奇异对称矩阵A , 均能够找 到一个满秩的矩阵 Q , 使得 QTAQ 为对角元为1或 －1的对角阵, 且1的个数(正惯性指数)和－1的个 数(负惯性指数)不因Q不同而变化。 实际上， 注意到任何标准型： 实际上对满秩阵 Q 我们有更强的结果. f (x1 , x2 , xn ) = + 2 11 1 a x + 2 22 2 a x + 2 nn n a x 都可经线型变换： | | , 1 11 1 y = a x | | , 2 22 2 y = a x , n nn n y = | a |x 化为 . 2 2 2 2 1 n f = y y + y
§4二次型化为标准形式的其它方法 初等变换法
§4化二次型化为标准形式的其它方法 一、 初等变换法
运用初等变换将二次型f(x12x2…xn)=XAx 化为标准形式的做法如下 匚次型的矩阵A B对角矩阵 A 先对A进行“行”的初等变 B 换 E」后对整个矩阵作同样的“列初等变Q 单位矩阵E QAQ=B∏变换矩阵Q满秩 fXAX=YQAQY=YBY (X=Qr)
运用初等变换将二次型 f (x1 , x2 , xn ) = X A X T 化为标准形式的做法如下： E A 先对 A 进行“行”的初等变 换 后对整个矩阵作同样的“列”初等变 换 Q B B 对角矩阵 变换矩阵 Q 满秩 Q AQ B T = f = X A X T Y Q A Q Y T T = Y B Y T = ( X = QY ) 单位矩阵 E 二次型的矩阵A