例3.1将/化成标准型 f=2x1x2-6x2x3+2x2x1 解二次型对应矩阵的对角元全为零, 故属定理证明中情形(2). 0 令P 001 =y1-y2 几+y2 则对应于线性变换:
例3.1 将 f 化成标准型: 2 6 2 . 1 2 2 3 3 1 f = x x − x x + x x 解 二次型对应矩阵的对角元全为零， 故属定理证明中情形(2). , 1 P = 1 −1 0 1 0 1 0 0 1 令 则对应于线性变换： , 1 1 2 x = y − y , 2 1 2 x = y + y . 3 3 x = y
f=2xx2-6x2x3+2x3x1 2(1-y2)(y1+y2)-6(1+y2)y3+2y3(1-y2) 2y2-6y1y3-6y2y3+2y31-2y3y2 2 y 220 V1y3-8y2y 令P=010 00 VI z,+二3 则对应于线性变换:
则 2 1 2 6 2 3 2 3 1 f = x x − x x + x x 2( )( ) 6( ) 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 = y − y y + y − y + y y + y y − y 2 2 2 1 = 2y − 2y 2 3 1 2 3 2 + y y − y y 6 1 3 6 2 3 − y y − y y 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 = y − y − y y − y y , 2 P = 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 令 则对应于线性变换： , 2 1 1 1 3 y = z + z , 2 2 y = z . 3 3 y = z
f=2y12-2y2-4 1y3-8 (x1+2=)2-2z2-4(x1+2)23-8z2 2 1+2=123+23)-2=2-(2=123+423)-8=2=3 4 0 2 2_822-3 0 0 2|, 001 则对应于线性变换:
1 3 2 3 2 2 2 f = 2y1 −2y −4y y −8y y 1 3 3 2 3 2 2 2 1 3 ) 8 2 1 ) 2 4( 2 1 = 2( z + z − z − z + z z − z z 2 3 2 1 3 3 2 2 2 1 3 3 2 1 2 2 ) 2 (2 4 ) 8 4 2 = ( z + z z + z − z − z z + z − z z 2 1 2 1 = z 2 2 3 − z 2 2 − 2z 8 . 2 3 − z z , 3 P = 1 0 0 0 0 2 1 − − 2 0 1 令 则对应于线性变换： , 1 u1 z = 2 , 2 1 2 u2 u3 z = − − . 3 u3 z =
2 2 2-3 1,2-2(-l2-2l2 ,)2-22-8(-=l2-23) 32+424+812)-22-(42-161)3 L2+6l
2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 8 2 1 f = z − z − z − z z 2 3 3 2 3 2 2 3 2 1 2 ) 2 1 2 ) 2 8( 2 1 2( 2 1 = u − − u − u − u − − u − u u 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 2 1 4 8 ) 2 ( 4 16 ) 2 1 ( 2 1 = u − u + u u + u − u − − u − u u 6 . 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 = u − u + u
二次型的标准型不唯 上述方法也叫配方法
二次型的标准型不唯一 上述方法也叫配方法