第七章 二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面
§1二次型的矩阵表示 考虑一个简单的几何问题:方程 1310 x-+—xy+ 72 在平面上代表什么曲线?
§1 二次型的矩阵表示 考虑一个简单的几何问题：方程 1 (1.1) 72 13 72 10 72 13 2 2 x + x y+ y = 在平面上代表什么曲线？
将坐标系(O,xy)逆时针旋转45度即令 X u+ (1.2) u+ 则得曲线在坐标系(O,,)中的方程 从而曲线为一椭圆
将坐标系（O,x,y) 逆时针旋转45度,即令 = + , 2 2 2 2 x u v 则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程： (1.2) , 2 2 2 2 y = − u + v 1. (1.3) 9 4 2 2 + = u v 从而曲线为一椭圆。 x y u v
上述例子中,我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程(1.1)化为形如(1.3)的标准形 坐标变换(1.2)可以解释为满秩的线性变换。 应用此变换到(1.1)的左边,便说满秩变换 (1.2)将方程(1.1)的左边化为方程(1.3)的左 边。从代数的观点看,即一个二次多项式 通过变量的满秩线性变换化为标准型。下 面我们讨论更一般情形
上述例子中，我们通过坐标变换(1,2), 将曲线方程(1.1)化为形如(1.3)的标准形式。 坐标变换(1.2)可以解释为满秩的线性变换。 应用此变换到(1.1)的左边，便说满秩变换 (1.2)将方程(1.1)的左边化为方程(1.3)的左 边。从代数的观点看，即一个二次多项式 通过变量的满秩线性变换化为标准型。下 面我们讨论更一般情形
定义1.1 将n元二次齐次式 f(x1,x2,…xn)=a1x1+a2x2+…+amxm+ 212x1x2+2013xx3+…+2an21mx21x 称为n元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为 实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型
定义 1.1 将 n 元二次齐次式 f (x1 , x2 , xn ) = + 2 11 1 a x + 2 22 2 a x + + 2 nn n a x 2a12x1 x2 +2a13x1 x3 + n n n n a x x +2 −1 −1 称为 n 元二次型。 二次型依其系数是实数或复数而分别称为 实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型