十进位值制记数还有利于促成度量衡单位十进位制的实 现。秦朝以前度量衡制十分紊乱，有二进制、四进制、八进制、 十进制、十二进制、十六进制等等，为了避免度量衡单位与十 进记数之间无谓的麻烦，秦汉以后逐步改革了度量衡制，到宋 朝以后中国的度量衡制除斤两仍旧是十六进位，时辰仍不是 十进位之外，一般都改为十进位制了。 因为我国采用十进位值制记数，因此在日常生产、生活实 践中不论是用算筹或算盘进行加、减、乘、除四则运算都极方 便，而且为完整的分数体系的建立（包括分数的记法，运算的 发展)、十进制小数的引进创造了条件，最大公约数与最小公 倍数得到了应用以及算术中各种“应用问题”（包括各种比例 问题在内)，都有了合理的解法。 另外十进位值制记数法不但可利用于记一个数字的各位 数码，并且也可以利用来表达一个算式中的各项数字，也就是 现在代数学中通常所说的分离系数法，利用分离系数法表达 开方式不仅使得开平方、开立方、开带从平方、开带从立方都 可以直接进行运算，而且为11世纪以后的增乘开方法的发明 更进一步推广到求数字高次方程正根的方法的发现以及为 13世纪中天元术和四元术的发展创造了良好的条件。 分离系数法还可以利用来表达包含几个不同未知数的多 元方程。从而使得解一次联立方程组时消元简便，同时为负数 概念及早的出现以及有理数运算法则的建立奠定了基础。 第四节希腊早期的 数学、毕德哥拉斯学派 经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的数学萌芽时 31
期以后，古希腊人把数学推进到一个崭新的时代。古希腊数学 不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建 立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础。 希腊数学的发展是和希腊社会、经济以及科学的发展分 不开的，按照科学史的一般分期以及希腊数学研究中心的转 移，通常把希腊开创的初等数学时期分为两个阶段。一、希腊 早期数学，即古典时期的希腊数学。这个时期大约从公元前六 世纪开始到公元前三世纪。二、后希腊时期的数学，即亚历山 大里亚时期的希腊数学。这一时期大约从公元前三世纪到公 元六世纪。这节我们讲希腊早期数学，即古典时期的希腊数 学。 古代希腊的地理范围，包括希腊半岛、爱琴海诸岛和小亚 细亚西部沿海地带（图1-17）。这里自然条件优越。农业、手工 业和航海业很早得到发展。公元前八世纪以后，希腊进入了奴 隶制形成的阶段，社会、经济和科学进一步得到发展，产生了 许多奴隶制城邦。他们虽然没有建立统一的国家，但是在文 化、宗教、风俗习惯等方面基本保持一致。这些城邦加强了希 腊和海外各地的商业联系，为接触并吸收优秀的东方文化提 供了方便。 从公元前六世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出 现了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学仅是其中的重要成 就之一。 古代希腊的第一个著名数学家是泰勒斯(Thales约公元 前624~546年)他生于小亚细亚爱奥尼亚地区的滨海城市米 利都。公元前六世纪上半叶，泰勒斯曾经去巴比伦和埃及进行 过商业活动，在那里学到了许多数学知识，他第一个把这些数 学知识带回希腊，在米利都创立了爱奥尼亚学派。相传几何的 32-
亚彩半亚淅 尔马海 克洛 爱奥尼 品叙拉吉 被斯帝民 克果特品 学语动中心 重数学家 数学学解站动地 去代希能 地 为 洲 图1-17古代希腊重要数学家活动地区 证明是由泰勒斯开创的。 公元前六世纪末，爱奥尼亚陷于波斯人之手，希腊文化随 着逃难人群而向西部传播，公元前494年，波斯统治者镇压了 小亚细亚希腊人的反抗，血洗米利都，从此爱奥尼亚学派停止 了活动。继爱奥尼亚学派之后推动数学发展的主要是毕达哥 拉斯学派。 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572~497年)出生于靠 爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛。青年时代，毕达哥拉斯曾就学于泰 勒斯。以后他曾到亚洲和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了 很多数学知识。约在公元前530年，毕氏返回到故里，并建立 了自己的学派。 由于毕达哥拉斯坚持奴隶主贵族的立场和利益，不久被 迫迁到意大利东海岸的克洛吞。公元前497年由于他进行反 对民主派的活动，被杀于米太旁登。 公元前479年，以雅典为主的希腊同盟军彻底击溃了波 斯军队，从此雅典在经济和军事实力方面迅速繁荣起来，成为 —33
一个气势宏伟的文化中心。于是许多优秀学者纷纷来到雅典， 一时学派林立，学术上百花齐放，一片兴旺现象。 柏拉图(Plato,公元前427~347年)是当时最著名的希 腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，为了 表明数学在柏拉图学派中的重要地位，在柏拉图学园门口挂 了一块“不懂几何者，不得入内”的牌子。值得注意的是，公元 前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生搞 的。再有与柏拉图学园有联系生于小亚细亚奈达斯的欧道克 斯(Eudoxus,公元前408~355年)是这一时期最大的数学 家。他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的 《几何原本》。这一时期值得一提的还有亚里士多德(Aristo- tle,公元前384~322年)他生于马其顿的史太其拉。他青年 时代就来到雅典。是柏拉图的学生和同事，相处达20年之久， 公元前335年他成立了自己的学派。亚里士多德是古希腊哲 学家中最博学的人。他的一些卓越思想在数学史上影响很大。 下面将概要地介绍古代希腊时期的数学成就，而这些成 就的大部分将归功于毕达哥拉斯学派。 一、算术上的成就 1.应用算术 在古希腊，由于商业、建筑业等，特别是天文学的需要，希 腊人独立地创造了自己的记数法。古希腊时期的记数法有两 种：一种是雅典记数法，另一种是爱奥尼亚记数法。 雅典记数法是在公元前三世纪以前发展起来的，它们构 成一种由数字名称的头一个字母组成的以10为基的简单分 群数系。除了表示1,10,102,103,104的符号I,△，H,X,M之 外，还有一个表示5的特殊符号，其中前者每个符号都可以 -34
重复四次，后者符号既可以单独用，也可以与其他符号合起 来用。例如个表示50，H表示500，区表示5000，M表示 50000,所有其他数字都可以借助这些符号按照加法原测来 记，把各个符号并排写出。大数字在前面。例如325记作HHH △△厂，2857记作XX H HHH△||等。 爱奥尼亚记数法最早为毕达哥拉斯学派采用，这个数系 以10为基，用27个文字来表示数。 12 3 6 7 8 9 个a 3 0 十 0 P 百 X a 为了把数与字母加以区别，在数的符号上面画一条小的 横线。例如：12=3,21=Ka,247=0μ，805=e 尽管在爱奥尼亚记数法中已经有了位值制的胚芽，但是 古希腊人终究未达到位值制记数法这一步。这个记数法的最 大缺点是仍然使用了许多不同的符号，给运算带来了很大困 难，同时也模糊了数学之间的简单关系，如奇偶区别等。不过， 爱奥尼亚记数法显然比另一记数简便，因而很快就在全希腊 推广了，到了亚历山大里亚时期，爱奥尼亚记数法就完全取代 了另-…记数法。 整数四则运算中的加、减、乘的运算从根本上说与现代的 法则差不多，只是乘法运算是从高位到低位进行的。至于除法 是怎样进行的，现在还不清楚。 希腊人把分数表示为两个整数之比。分数在古希腊的 -35…