巴塞尔问题 天精之音一黎 受餐设 ■1644年，19岁的意大利大学生皮特罗·蒙格里(Pietro Mengoli)提出了诸位现在能够迅速解答的下述无穷级数 巴素尔阿 题一19岁大乎 求和问题： 生引发的故事 G一击求一果变 1111 的种秋量某 1+22++++= 大里金睛一望 n=1 翼设 异想天开之望 ■蒙格里的问题难倒了所有意大利人，于是北上到了该时 证设 代世界第一数学世家伯努利家族.1689年伯努利三兄弟 的老大雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli, 1654.12.27-1705.8.16)以该问题在瑞士巴塞尔公开挑战 三兄弟中最有成就的小弟约翰(1667.8.6-1748.1.1)，巴塞 尔问题因此得名. ■老大终于战胜了小弟，因为约翰要在大哥身后30年才能 给出巴塞尔问题的解答
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b nlØK 1644 c, 19ïøå|åÆ)ôA¤#ÑÇp(Pietro Mengoli)J— Æy3U ×Ñ)âe„ð?Í ¶⁄ØK: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + · · · = X∞ n=1 1 n 2 =? ÑÇpØKJ §køå|<, u¥˛ Tû ì.1òÍÆ[À„|[x. 1689 cÀ„|n73 På‰éŸ#À„|(Jakob Bernoulli, 1654.12.27-1705.8.16) ±TØK3a¨nl˙m]‘ n73•Åk§“3ø(1667.8.6-1748.1.1), nl ØKœd¶. På™u‘ë 3, œèøá3åx 30 c‚U â—nlØK)â.
黎受（函数 天预之音一黎 受餐设 ■以下总记 巴素尔阿 0. 题一19岁大乎 生引发的故事 (s)= G一击求一果变 n=] 的种秋量笑 大单全睛一梨 此即所谓黎受(-函数. 受氧设 ■当s=1时，黎受(-函数就是著名的调和级数 并想天开之梨 证设 (1)= n n=1 1350年左右，即已知调和级数是发散的，但其源于音乐 “和声”的本质一如既往.调和级数怎样反映和声？
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b i˘ζ-ºÍ ±eoP ζ(s) = X∞ n=1 1 n s d=§¢i˘ζ-ºÍ. s = 1 û, i˘ζ-ºÍ“¥Õ¶N⁄?Í ζ(1) = X∞ n=1 1 n 1350cÜm, =ÆN⁄?Í¥u—, Ÿ u—W /⁄(0 üòXQ . N⁄?ÍNáN⁄(?
青出于蓝一欧拉妙解巴塞尔问题 天预之音一黎 受餐设 巴素尔阿 题一19岁大乎 ■约翰·伯努利为迎战大哥的巴塞尔问题奋斗了40多年仍 生引发的故事 不得其解，但他有一个青出于蓝的好学生一欧拉 G一击求一果变 的种秋量笑 1735年，欧拉公布了巴塞尔问题的答案： 大单全睛一梨 受翼设 并想天开之梨 =1+2++京+京+= 00 、1 证设 ■需要说明的是，如今诸位得到该答的途径基本上 是1807年诞生的“傅里叶级数”一比欧拉晚了70年！你 能想象欧拉的办法吗？
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b ì—u7—Ó.©)nlØK ø#À„|èH‘åxnlØKØà 40ıcE ÿŸ), ¶kòáì—u7–Æ)—Ó.. 1735c, Ó.˙Ÿ nlØKâY: ζ(2) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + · · · = X∞ n=1 1 n 2 = π 2 6 ! Iá`²¥, X8ÆTâYªƒ ˛ ¥1807c)/Fpì?Í0—'Ó. 70c! \ UéñÓ.ç{Ì?
举重若轻一欧拉的雕虫小技 天预之音一黎 受餐设 x5 x7 x9 sin x =X- (-0<X<+∞) 巴素尔阿 3+5- 7+ 9! 题一19岁大乎 生引发的故事 G击承一架更 sin x x4 x8 的种秋量某 =1- +6 3+5-元+g…,×≠0 大单全晴一梨 受氧设 并想天开之梨 发氧设 =0-尊+草1-点+总）… x2 =(1- ■欧拉只需要比较二次项的系数即可解决困扰数学界半个 多世纪的难题！欧拉比较系数的“举重若轻”与傅里叶 级数的“举轻若重”异曲同工
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b fieî—Ó.H£E sin x = x − x 3 3! + x 5 5! − x 7 7! + x 9 9! − · · · (−∞ < x < +∞) sin x x = 1 − x 2 3! + x 4 5! − x 6 7! + x 8 9! − · · · , x 6= 0 sin x x = (1 − x π )(1 + x π )· · ·(1 − x nπ )(1 + x nπ )· · · = (1 − x 2 π 2 )(1 − x 2 2 2π 2 )· · ·(1 − x 2 n 2π 2 )· · · Ó.êIá'gëXÍ=å)˚(6ÍÆ.åá ıVJK! Ó.'XÍ/fieî0ÜFpì ?Í/fiîe0…”Û.
形变无敌一(-函数在正偶数处的值 天预之音一黎 受餐设 1.1.1.1 T4 4)=1+0+3+40+5+…= 巴素尔阿 90 题一19岁大乎 生引发的故事 1.11,1 π6 G一击求一果变 的种秋量某 61+25+36+++= 945 大里全睛一梨 受氧设 并想天开之梨 证设 G2o)=1+2嘉+嘉+点+6+=24x76979276 1,1,1,1 27I 2wW=1+2+++写+=2✉P41 1 11 2·(2W)！ 此处Bn是伯努利数，由e×的泰勒系数给出，即 0 x ex-1 Bn n! =0
UæÉ——i ˘b nlØ K—19ïåÆ )⁄uØ ζ-ºÍ—i˘ ìá ª˙7´—i ˘b …éUmÉi ˘b /CÃ'—ζ-ºÍ3ÛÍ?ä ζ(4) = 1 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + 1 5 4 + · · · = π 4 90 ζ(6)1 + 1 2 6 + 1 3 6 + 1 4 6 + 1 5 6 + · · · = π 6 945 ζ(26) = 1+ 1 2 26 + 1 3 26 + 1 4 26 + 1 5 26 +· · · = 2 24 × 76977927π 26 27! ζ(2N) = 1+ 1 2 2N + 1 3 2N + 1 4 2N + 1 5 2N +· · · = (2π) 2N(−1)N+1B2N 2 · (2N)! d?Bn ¥À„|Í, d x e x−1 VXÍâ—, = x e x − 1 = X∞ n=0 Bn x n n! . . ζ-ºÍ3ÛÍ?äÅ#ÔƒÎÑOscar Ciaurri, Luis M. Navas, Francisco J. Ruiz and Juan L. Varona, A Simple Computation of ζ(2k), Monthly, 2015(5), 444-451