应用不晚于公元前五世纪。 古希腊时期的数学家们对开方的计算一般是回避的。因 为有可能遇到无理数。在不晚于公元前四世纪的时候，希腊数 学家们已熟知一种求平方根的近似方法。 由于这一时期的数学家们鄙视应用算术，因而从泰勒斯 起的三百年间，应用算术这个分支几乎没有什么进展。 2.理论算术 所谓理论算术，是指与自然数运算的一般性质有关的数 学知识的总和，实际上就是数论的雏型。 毕达哥拉斯学派把满足关系式（用现代记法）：1+2+3 十…十n=(?)(n十1)的数称为三角形数（图1-18）。 图1-18 满足关系式：1+3+5+…十(2-1)=n2的数称为正方形 数（图1-19）。 。。 图1-19 毕达哥拉斯学派还给出了可以用纯几何的方法来证明的 一些有趣的定理： —36-
例如：任何一个正方形数都是两个相继的三角形数之和 (图1-20)。 第n个五边形数等于第(n-1)个三角形数的三倍加上n (图1-21)。 图1-20 图1-21 毕达哥拉斯学派还研究了毕氏三数（参阅本章第一节）以 及算术平均数、几何平均数和调和平均数等。 二、几何上的成就 古典希腊时期最早研究几何的是爱奥尼亚学派，泰勒斯 在埃及旅行的时候，利用等腰直角三角形相似的原理，解决了 埃及祭司们难以解决的测量金字塔高度的问题。 泰勒斯确定了以下几条最早的几何定理：1)等腰三角形 两底角相等；2)如果两个三角形有一边及这边上的两个角对 应相等，那么这两个三角形全等；3)直角彼此相等；4)两条直 线相交时，对顶角相等；5)圆的直径平分圆周。 至于爱奥尼亚学派是否对以上定理有过证明，现在还没 有什么根据。但是可以肯定，是他们最早提出了某种逻辑推 理。 使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功 -37
于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形 的理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的 内角和、相似理论等等。 毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一·些 性质，他们发现：同名正多边形覆盖平面的情况只有以下 三种：而且这些正多边形个数之比为6：4：3，而他们边数之 比为3：4：6（图1-22）。他们也研究了以立方体填满空间的 问题。 图1-22 毕达哥拉斯学派对于直线形性质的最大贡献是关于直角 三角形的斜边和直角边关系的定理，世称毕达哥拉斯定理（中 国人称为勾股定理)。中国人、巴比伦人、埃及人和印度人都早 就知道这个定理的特殊情况，不过只有古希腊人才以一般的 形式得到了证明，而且许多数学史家都认为毕达哥拉斯学派 是用比例和相似三角形的理论得到证明的。相传毕达哥拉斯 证出这个定理以后，曾经宰了100头牛以示庆祝。 毕达哥拉斯学派在研究数学的方法上，有一个很大的特 点，那就是注意形与数的密切结合。 几何、算术、天文和音乐方面的大量成果深深地激励着毕 达哥拉斯学派的数学家们，他们相信宇宙万物总可归结为简 单的整数和整数之比，他们对一些几何定理的证明建立在任 何量都可通约的这个信念上。然而，大约在公元前五世纪末传 -38
说由希帕苏斯(Hippasus)发现了不可通约量的存在，这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫大的打击。数学 史上把这称为第一次数学危机。 总之，古典希腊时期的希腊人已掌握了大量初等几何知 识，加上亚里士多德建立了形式逻辑（这是他对数学的最大贡 献。虽然在他之前已有许多学者奠定了逻辑的基础)。这些都 为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。 关于古典希腊时期的几何部分，最后要提到的是：被称为 几何“三大难题”。他们是指限用（无刻度的）直尺和圆规的三 个作图题：1)作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 简称为“倍立方”或“立方倍积”。2)三等分任意（一个）角。3) 作一正方形，使其面积等于一个已知圆。简称为“化圆为方”。 古希腊人之所以要把作图工具只限用于无刻度的直尺和 圆规，是由于他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存 在。认为只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。他们 认为直线和圆构成的图形可以由尺规作图而得在客观上是存 在的，因而由直线和圆构成的图形才能逻辑推证其真实性。古 希腊人的这些观念，禁锢了人们的思想，抑制了创造性。 几何三大难题于1837年万采尔(Wantzel,1814~1848 年)首先证明了“倍立方”与“三等分任意角”的问题不能用无 刻度直尺和圆规求解。】882年林德曼(Lindeman,1852~1939 年)又证明了π的超越性，从而否定了用无刻度直尺和圆规的 “化圆为方”的可能性。 古典希腊的代数是依附于几何的，称为“几何代数”。在毕 达哥拉斯学派那里，已经开始了对几何代数的研究，后来经过 欧道克斯的工作，奠定了它的理论基础。读者可参阅本章第五 节欧几里得《几何原本》第二卷关于几何代数的内容。 —39-*
第五节欧几里得的《几何原本》、公理法 西方几何学源于埃及，经泰勒斯等人移于希腊的爱奥尼 亚。又经毕达哥拉斯学派等转到雅典。此后数学研究中心再 由希腊的雅典移到埃及的亚历山大城。欧几里得正处于这一 亚历山大时代。欧几里得(Euclid公元前300年前后)是希腊 数学家，关于他的生平，现在知道的很少。根据其他一些零星 的记载，欧几里得约公元前330年生于雅典，早年曾求学于柏 拉图学院。托勒密王朝建立后，亚历山大城被建成为古代文化 的中心。欧几里得长期住在亚历山大，并被托勒密一世聘为亚 历山大学院主任教授主持那里的数学工作。他所著的《几何原 本①是世界上最伟大的科学典籍之一。 相传托勒密国王曾问欧几里得，是否有比钻研《几何原 本》更简捷的学习几何的途径，他断然回答道：“几何学中没有 王者之路”。另外一则故事，是说一个学生跟欧几里得才开始 学习第一个命题，就问学了几何学之后将得到些什么。欧几里 得幽默地说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实惠”。 可见欧几里得主张学习必须循序渐进，刻苦钻研，反对投机取 巧。他也反对学了一个命题就要实用的狭隘观点。当然，学习 几何学最终是十分有用的。 除了《几何原本》以外，欧几里得还有不少著作，可惜大都 失传了，即使现在看到的各种《几何原本》的版本，也都不是欧 氏《几何原本》手稿的传本，而是根据后人的修订本、注释本、 翻译本重新整理出来的。首次传入我国的《几何原本》是在元 ①在我国Elements译作《几何原本》详见第二章第十节 —40-