上述的这些定义来看，除少数有些说法不够情楚以外，大多数 说法还是很有道理的。可惜的是没有能够形成形式逻辑的演 绎系统。 春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了一些看 法，事实上数与物质的关系是涉及到数学的一个重要哲学问 题。《老子》一书回答了这个问题，该书下编第四十二章提出： “道生一，一生二，二生三，三生万物”。这里把“一”看成是万 物的源泉，有了“一”才有万物，而“一”又是从一种非物质的 “道”生成的，这种说法颠倒了数和物质本来应有的前后次序 关系。《老子》中所说的这种观点与古希腊的毕达哥拉斯 (Pythagoras,公元前六世纪人)学派所提倡的数为万物之源 说，即把数看做是万物的本源，从本质上来说倒是一致的。 第三节各种计数制、中国的 位置记数法、算筹与零 人类对数目的认识，最初是从“一”和“多”开始的。后来 逐渐有了“二”、“三”等数目的意识。但这种原始的数目意识都 是和具体的事物对象联系在一起的，例如二头牛、三根木棍等 等。进一步的发展是采用手指、树枝或贝壳等计数，通过简单 的对应关系“数”(shǔ)出某种物体的个数来，其实际含义是物 体的个数“与手指、树枝、或贝壳一样多”。据说汉语中“二”的 读音就出自于“耳”（与耳朵一样多），印度佛教用语中的“五” 与波斯语的“手”很相近（像一只手的指头那样多）。人类长期 在数目观念的基础上，逐步产生了认识上的飞跃，才出现了抽 象的数的概念，因此我们可以说，“数”(shù)来源于“数” (sǔ)。这一点，也可以从小孩子学习数目的过程得到印证。 26
随着杜会实践活动的不断深化，当需要计数的数目很大， 即当树枝、贝壳不够“数”(sǔ)或需要把计算结果保留下来的 时候，就暴露出以一物表示另一物的原始记数法不能适应客 观上对记数的需要。于是利用符号代替树枝、贝壳等实物记数 的问题就提到日程上来了。 现今国际通用的记录数目的方法，是用阿拉伯数码表示 的位置记数法，它的好处是简便易行，可是，历史上的记数法 却是五花八门的。其中，我国古代的记数很早就采用位置制， 相当先进，而古埃及、巴比伦等地的记数法就相当繁复了。这 三种记数法前面已提及，不赘述，这里再补充罗马和古希腊的 记数法。 一、罗马数字 在这种数字表示方法中，1,10,102,103的基本符号为I, X,C,M,再加上表示5,50,500的V,L,D,另有一减法原则： 在一个较大单位的符号之前放一较小单位的符号，就表示这 两个单位之差，这种记数法在欧洲一直沿用到现在，例如： 1944=MDCCCCXXXXIIII(未用减法原则) =MCMXLIV(用减法原则) 二、希腊字码数字 古希腊的记数方法是用27个希腊字母表示，例如1,2,3 用a,B,Y表示30,40,50用入，μ，v表示，100,200则用P,o表 示，因而241应写成μa。 师 大约在公元前770年至前221年，春秋战国时期，我国已 出现了用算筹记数，并采用位置记数法。所谓算筹，有时也称 “算”或“筹”，是指用来记数或计算的一种竹制的工具（小竹 —27
棍)，从古书的记载以及考古出土的算筹实物来看，从汉到隋 朝，算筹由相当于现在的长约13.5厘米，直径约0.3厘米演 变为长约8厘米，直径约0.4厘米，这种算筹逐步改短的趋 势，无疑是为了运用起来比较方便的缘故，算筹既有细长的圆 柱形、也还有棱柱形的，除了用竹制之外，也有木制的，骨制 的，甚至讲究的还有用象牙制作的。计算时把筹放在桌子或茶 几上，后来有的数学家在专用的毡毯上或算板上进行计算，算 筹不用时可以安放在简子或算袋里，这样外出携带也很方便。 随着我国传统数学东传朝鲜、日本后，算筹也成为朝鲜、日本 通行的计算工具。 古代算筹的功用大致和后来的算盘珠相仿。五以下数用 几根筹表示几，6、7、8、9四个数目，用一根筹放在上边表示 五，余下来每一根筹表示一，放在下边，用算筹表示数目时有 纵、横两种方式： 纵式： 横式： 二三三L⊥山〨 123456789 我国的算筹采用位置计数法，即将万，千，百，十等意义， 通过数码所在位置加以表示，若要表示一个多位数，可像现在 用阿拉伯数码记数一样，把各位的数目从左到右横列。为了醒 目，各位数目的筹式需要纵横相间，个位数用纵式表示，十位 数用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式，以此类推， 交替使用纵横两式。如7826用算筹表示出来是士Ⅲ=T, 遇到数字有空位，如78026则用算筹表示为「兰=T,这时 百位上是空位，不放算筹，由于每位数字记法需纵横相间，中 —28—
间有没有空位是容易辨别的。显然这种位置计数法，比同时代 的罗马记数法要先进多了。 为了使初学者便于用算筹记数，古代数学书《孙子算经》 与《夏侯阳算经》中编有押韵的口决，易读易记，前者提出“凡 算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵、千十相望，万百相 当”。后者又加了四句“满六以上，五在上方。六不积算，五不 单张”。这种算筹记数的方法一直到元代末年，算盘取代算筹 以后，前后约沿用了两千多年。 虽然算筹当时还没有表示空位的数学符号，但“不放筹” 是确有其内容的，它显示了其他数字的确定位置，这实际上是 一种以不表示为表示的办法。然而，“不放筹”的做法终究还是 有缺陷的，例如60002在刻有位置的筹算板上是容易辨认的， 如果写在纸上T ‖其间到底有一个、三个，还是有五个 等的空位呢？就难以确定了。 对于空位印度人起初也采用“空”表示（即空一段距离）与 中国人类似，所不同的是印度人使用数码，而中国人则利用算 筹，大约在公元三四世纪，印度人开始出现用小点“·”表示空 位的做法，公元八世纪初印度数码传入中国，空位仍然用“·” 表示，可是印度数码没有引起我国的重视。印度数码于中世纪 传入阿拉伯后，受到了重视，经过阿拉伯的演变后又传入欧洲 从而形成了现今的数码的形式流行于世界。印度人究竟在什 么时候把“·”改为“0”的，现在很难断定。不过据印度九世纪 的石碑上的记载，已经出现用“0”替代“·”的现象，因此可以 说零的符号最早出现于印度。 我国在唐、宋时期，数学与数学教学高度发展，算书大量 出版，为了避免混淆，在12世纪（南宋）有的书上记叙数字时， 开始用有形的符号“☐”来表示空位，我国古代原有用“□”表 —29-
示文字中间空格的习惯，借来作为空缺数字的记号自然是很 相宜的。后来为了书写方便，“☐”写得快了，就逐渐改成为 “○”了，这种推测应该说是比较合乎情理的。这时与现代使用 的零符号“0”，除了稍圆了一点以外，已经没有什么不同了。17 世纪我国翻译西方数学著作时均将阿拉伯数码改写成中国数 字，其中特别地把“0”译为“○”。直到19世纪，仍然如此，随着 清政府的闭关锁国政策的失败，符号“0”以及阿拉伯数码终于 在辛亥革命后正式在我国通用。 从现在查有实据的泥板、纸草以及甲骨文、算筹等资料来 看，我国记数法的出现虽然要晚于古埃及和巴比伦，但是我们 的祖先独立地创造了科学记数法。古埃及是很早采用十进制 的国家之一，但并不采用位置记数法。古巴比伦通常采用六十 进位制，有的也采用十进制，甚至有的将两者混用，虽然巴比 伦人已经懂得了用符号按位置来表示其数值的方法，但这种 记数法并不完善，还不能说属于严格的位值制（详见第一节）。 因此在埃及和巴比伦的记数及其运算都是比较麻烦的，显然 不利于数学的进一步发展。而中国的记数法，不论是古代的算 筹，还是后来的珠算都明确无误地显示了既是采用了十进制又 是位值制的。这是中国人的一大创造。这种记数法在记数或计 算上都要远比古埃及、巴比伦以及后来的希腊、罗马的记数法 优越得多。对我国的数学、数学教育的发展影响极为深远。 由于我国用口语或文字表示一个数字都严格地遵从十进 位值制，而且单音节数字发音简捷，这为青少年学习数学提供 了方便。因此关于算筹记数口诀(“一纵十横，…”)，乘法口 决（如“九九八十一”等）归除口决（如“三一三十一”等），斤两 换算口决（如“一退六二五”等）等等都易读易记易学，有利于 推动数学教育的发展。 -30