Figure1:欧几里德 课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第一讲数学的原子：素数 数学的起点是自然数，自然数的基础是素数 算术基本定理：任何大于1的自然数都可以唯一地（不计次序）表示为一 些素数的乘积 算术基本定理表明，如果仅考虑乘法，素数是最小的“原子”，因为 它们不能再被分解成更小的数的乘积.因此，理解素数便是数学的最基本的 1
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问题.素数有多少个？是否存在一个有效的表达素数的公式？ “数学家们试图在素数序列中找到某种规律，但迄今一无所获，”欧 拉写到，“我们有理由相信，这是人类永远无法看穿的秘密” 2
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Figure 2: ❆Û✝✢ 2300❝❝ î❆♣✙➼♥ ❷ê➹⑩✧ ❯Ö❽Ñ✡6❻②➨➜Ù➙❝2❻Ú✶6❻➀➧ù❽♣➙✮❢➜✶♥❻➀➧ù❽ ➀➌➷✮❢↔➛❫⑩④ü✛➼➮➞✧ ➒✺➾➜ù➫✢⑨➅✶➌❻➷➞ö❙↕➜Ù ④ü❻■❻õ➌✿ê➷⑧↔↔✰ØÚÿ➚↕✧ ❞❄Ð➠❝ü❻Ú⑩➌❻✧ 3
证明1（欧几里德）设{P1,p2,·,Pn}是任意有限个素数的集合，则数 p1P2…pn+1 必不能被任何p,1≤i≤n整除！OK! 4
②➨1↔î❆♣✙↕ ✗{p1, p2, · · · , pn}➫❄➾❦⑩❻❷ê✛✽Ü➜❑ê p1p2 · · · pn + 1 ✼Ø❯✚❄Ûpi , 1 ≤ i ≤ n✒Ø! OK! 4
注1.欧几里德，“几何学之父”。前330-前275，是柏拉图学园的学 生。柏拉图的名言：“不懂几何者，不得入内！”“上帝就是几何学家。” 注2.《几何原本》，发行量仅次于《圣经》。其中的“素数无限”的 证明仍是迄今为止最为精彩简洁的证明；而“第五平行公设”则是文明史 上对人类思维的最大考验（从牛顿到爱因斯坦不足300年，但从欧氏几何到 非欧几何超过2000年！)。 注3.趣事1：当时托勒密国王也想赶这一时髦，学点儿几何学。他问 欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里得说：“在几何学 里，没有专为国王辅设的大道。” 趣事2：有个青年问：你的几何学有何用处。他的回答是：“请给这个 小伙子3个硬币，因为他想从几何学里得到实际利益。” 注4.11岁的时候，我开始学习Euclid的书，并请我的哥哥当我的老 师。这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。一一B.Rss 英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，无神论或者不可知论 者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之 一，1950年诺贝尔文学奖得主（获奖作品《婚烟与道德》）。他与怀特海合 著的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大 影响。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品， 持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。 5
✺1. î❆♣✙➜✴❆Û➷❷■✵✧❝330-❝275➜➫②✳ã➷✠✛➷ ✮✧ ②✳ã✛➯ó➭✴Ø➹❆Ûö➜Ø✚❭❙!✵ ✴þ✷Ò➫❆Û➷❬✧✵ ✺2. ✺❆Û✝✢✻➜✉✶þ❂❣✉✺➆➨✻✧Ù➙✛✴❷ê➹⑩✵✛ ②➨❊➫î✽➃➂⑩➃➦ç④✬✛②➨➯ ✌✴✶✃➨✶ú✗✵❑➫➞➨↕ þé❁❛❣➅✛⑩➀⑧✟↔❧Úî✔❖Ï❞✧Ø✈300❝➜✂❧î➻❆Û✔ ➎î❆Û❻▲2000❝➐↕✧ ✺3. ✕➥1➭✟➒÷❱➋■✜➃➂❵ù➌➒✮➜➷✿✍❆Û➷✧➛➥ î❆♣✚✴➷❙❆Û➷❦✈❦➓♦✩➺➀r➸✵ î❆♣✚❵➭✴✸❆Û➷ ♣,✈❦❀➃■✜➪✗✛➀✗✧✵ ✕➥2➭❦❻➇❝➥➭❭✛❆Û➷❦Û❫❄✧➛✛↔❽➫➭✴➒❽ù❻ ✂➸❢3❻▼✶➜Ï➃➛➂❧❆Û➷♣✚✔➣❙⑤➹✧✵ ✺4. 11➉✛➒ÿ➜➲♠➞➷❙Euclid✛Ö➜➾➒➲✛①①✟➲✛P ➇✧ù➫➲✮➵➙✛➌❻➀➥➜❣❳Ðô❸✛➃❁✧ ✮✮B.Russell ❂■ó➷❬✦ê➷❬✦Ü✻➷❬✦④↕➷❬➜➹✥Ø➼öØ➀⑧Ø ö➜➃➫þ➢❱Ü➄⑩❮➯✦ ❑➃⑩➀✛➷öÚÚ➨❒➶✖➡➵➘❬❷ ➌➜1950❝ì✓✏➞➷ø✚❒(➻ø❾➡✺➫Ó❺✗✙✻)✧ ➛❺⑦❆➦Ü ❮✛✺ê➷✝♥✻éÜ✻➷✦ê➷✦✽ÜØ✦❾ó➷Ú➞Ûó➷❦❳ã➀ ❑➃✧ 1950❝➜Û❷➻✚ì✓✏➞➷ø➜➧▲ÚÙ✴õ✘❹➢❻✛❾➡➜ ➧❨Øä✛❏➛❁✗❒➶♥➂Ú❣➂❣❞✵✧ 5