-20. Figure1:黎曼Zeta函数 音乐是感官的数学，数学是心灵的音乐 第四章天籁之音：黎曼假设 本章介绍数学第一难题：黎曼假设(Riemann Hypothesis-=RH) 黎曼假设(1859)函数 的非平凡零点均在直线Re(s)=号上. 1
Figure 1: i˘ZetaºÍ —W¥a(ÍÆßÍÆ¥%(—W 1oŸ UæÉ—µi˘b Ÿ0 ÍÆ1òJKµi˘b(Riemann Hypothesis=RH) i˘b(1859) ºÍ ζ(s) = X∞ n=1 1 ns ö²Ö":˛3ÜÇRe(s) = 1 2˛. 1
0 1/2 1/3 0 1/4 5 /7 Figure 2:HarmonicPartials 当s=l时，黎曼C函数恰好是调和级数(harmonic series) 0)=∑=1++3+…+ 11 1 n 十… n=1 上式一般称为调和级数(harmonic series).该名称源自和声(harmony). 2
Figure 2: HarmonicPartials s = 1 ûßi˘ ζ ºÍT–¥N⁄?Í(harmonic series) ζ(1) = X∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n + · · · ˛™òÑ°èN⁄?Í(harmonic series). T¶° g⁄((harmony). 2
一、音乐与黎曼假设 公元前6世纪，毕达哥拉斯学派发现音乐与比率有关，即拨动琴弦所 产生的声音与琴弦长度有关，并且和声是由长度成整数比的同样绷紧的 弦发出的，由此产生所谓Pythagoras音阶(Pythagorean scale),其基础比率 为3：2（现代乐律中这表示一个纯5度(perfect fifth或P5),其关系如下表（五 度相生律)： 音符名 频率 比率 C-do 261.6 1:1 D-re 294.3 9:8 E-mi 331.0875 81:64 F-fa 34.8 43 G-so 391.5 3:2 A-la 441.45 27:16 B-ti 496.63125 243:128 C-do 523.2 21 注意上表中两个连续的主音的比率是9：8，但次半音的比率是256： 243=28:35.因此连续两个半音并不等于一个主音： 28289 1.10985715=35×35≠8=1.125 换句话说，Pythagoras学派在听音乐时用的数学是 219=312 或 524288=531441. 3
ò!—WÜi˘b ˙c6Vß.àx.dÆuy—WÜ'«k'ß=Ãåu§ )(—Üåu›k'ßøÖ⁄(¥ d›§Í'” ; uu—ßdd)§¢Pythagoras— (Pythagorean scale)ߟƒ:'« è3:2 (yìWÆ•˘L´òáX5›(perfect fifth½P5))ߟ'XXeL( ›É)Æ)µ —Œ¶ ™« '« C-do 261.6 1:1 D-re 294.3 9:8 E-mi 331.0875 81:64 F-fa 34.8 4:3 G-so 391.5 3:2 A-la 441.45 27:16 B-ti 496.63125 243:128 C-do 523.2 2:1 5ø˛L•¸áÎY×'«¥9 : 8ßgå—'«¥256 : 243 = 28 : 35 . œdÎY¸áå—øÿ uòá×µ 1.10985715 = 2 8 3 5 × 2 8 3 5 6= 9 8 = 1.125 ÜÈ{`ßPythagorasÆ3f—Wû^ÍÆ¥ 2 19 = 312 ½ 524288 = 531441. 3
Figure 3:A above middle C=440hz 目前国际较为通行（但并非普遍接受）的标准是中央C(middle C)上的 音A的频率为440hz(美国标准协会1936年推荐并被国际标准化协会1976年采 纳为IS016,奥地利政府1885年推荐A=435hz,巴赫Bach的A=480hz,同 时期的韩德尔Handell的A=422.5hz),此即所谓音乐会A(concert A). 实际上，乐律学家推荐的A=439hz(温度为15C=59°F,而在室温 时A=435.5),但钢琴制造商强烈抱怨，因为439是素数！ Pythagorean音阶与当代乐律学说的主流“十二平均律”相比，有较大 差异，见下表： 音符名 频率 比率 middle C 261.6255653 1:1 D 293.6647679 21/6:1 E 329.6275569 2/3:1 F 349.2282314 25/12:1 G 391.995436 27/12:1 A 440.0000000205 23/4:1 B 493.883013 211/12:1 高8度C 523.2511306 2:1 对照Pythagorean音阶表与上表中的音名G,可知Pythagorean音阶的 合理性（假定A=440z是合理的）在于下述数学近似27/12≈3/2或者 0.58333=7/12≈1og2(3/2)=0.5849625007. 4
Figure 3: A above middle C=440hz 8cISèœ1(øö H…)IO¥• C(middle C)˛ —A™«è440hz({IIO¨1936cÌøISIOz¨1976cÊ BèISO 16ßc/|?1885cÌA=435hzßn‚BachA=480hzß” ûœ¸HandelA=422.5hz)ßd=§¢—W¨A(concert A). ¢S˛ßWÆÆ[ÌA=439hz(ß›è15oC = 59oF ß 3øß ûA=435.5)ßgåõE˚rßœè439 ¥ÉÍú Pythagorean— ÜìWÆÆ`Ã6/õ²˛Æ0É'ßkå …ßÑeLµ —Œ¶ ™« '« middle C 261.6255653 1:1 D 293.6647679 2 1/6 : 1 E 329.6275569 2 1/3 : 1 F 349.2282314 2 5/12 : 1 G 391.995436 2 7/12 : 1 A 440.0000000205 2 3/4 : 1 B 493.883013 2 11/12 : 1 p8›C 523.2511306 2:1 ÈÏPythagorean— LܲL•—¶GßåPythagorean— ‹n5(b½A=440hz¥‹n) 3ue„ÍÆCq 2 7/12 ≈ 3/2 ½ˆ 0.58333 = 7/12 ≈ log2 (3/2) = 0.5849625007. 4
精确的音符频率对凰表 符 对应频) 半周5 261.0255653 1911,128250 277.18263 1803.164832 293.6647615 1702.21678 311,t269837 t507.060856 321.275569 1516a63471 低音 349.2282314 1431.728456 4.5 361.9044227 135t.371722 391.99543 t275.525055 55 415.3046976 1203.935334 1136.363636 6 46137615 t72584446 t6123849 1.5 30526 5673295958 851,310839 622.2539674 803.5304932 559.2551138 758.4317353 中音 508.4564629 715.8142329 45 739.988B45 675.6858608 T399087 637,7625274 5 a30.6093952 601.9576672 568,1818182 6 932517523 536.2922231 967.7666025 506.1924535 1046.50226 4777420541 1 111 17.6590 2. 2 09 ,765216 318.510228 379,215867 高音 1396.91292 592114 4.5 1479.97769 337.8429304 1567.98174 38.8812637 5.5 1661.21879 300.9438336 1760 284,040g031 6.5 1864.655046 268,1461116 1975533205 2530362267 1z09180095302241a13885731736 Figure4:音名频率表 课堂习题1.证明1og2(3/2)不是有理数，从而不可能与7/12以及任何 分数相等 因此，实际上不可能得到完全准确的音阶体系！最好的办法不过是找 出与1og2(3/2)尽可能地接近的分数 问题是：怎样才能用分数逼近无理数？ 考虑方程x2-x-1=0,其两个根为(1±√5)/2，正根1+5的倒数 =-1=1+5-1即所谓“黄金比率”(golden ratio). 课堂问答1：此名称有何根据？ 5
Figure 4: —¶™«L ë,SK1. y²log2 (3/2) ÿ¥knÍßl ÿåUÜ7/12 ±9?¤ ©ÍÉ . œdߢS˛ÿåU O(— NXúÅ–ç{ÿL¥È —Ülog2 (3/2) ¶åU/C©Í. ØK¥µN‚U^©Í%CÃnͺ ƒêßx 2 − x − 1 = 0ߟ¸áäè (1 ± √ 5)/2ßä 1+√ 5 2 Í = √ 5−1 2 = 1+√ 5 2 − 1 =§¢/ë7'«0(golden ratio). ë,Øâ1µd¶°k¤ä‚º 5