课程网站 http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ 第三讲万数皆图：费马猜想的证明 一、神奇的15(CS定理)的证明思想 回忆：15-定理是指 正整数系数的四元多项式ax2+by2+cz2+du2是万有多项式←→ 它能表示15以内的所有正整数： 为什么？？ 学过线性代数的同学都知道，四元多项式ax2+by2+cz2+dw2是二次 型的特殊情形.因此，可以更一般地问：哪些整系数正定（四元）二次型是万 有二次型？CS的证明利用了正定二次型与正定矩阵、内积等工具.其思想 是每个正定的二次型都是某个“格”(lattice)的“范数”(norm). 1
➅➜✤Õ http://math.sjtu.edu.cn/course/skymath/ ✶♥ù ✙ê✛ã➭↕êß➂✛②➨ ➌✦✥Û✛15(CS➼♥)✛②➨❣➂ ↔➪➭15-➼♥➫➁ ✔✒ê❳ê✛♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✙❦õ➅➟ ⇐⇒ ➜❯▲➠15➧❙✛↕❦✔✒ê➐ ➃➓♦??? ➷▲❶✺➇ê✛Ó➷Ñ⑧✗➜♦✄õ➅➟ax2 + by2 + cz2 + dw2 ➫✓❣ ✳✛❆Ï➐✴. Ï❞➜➀➧➁➌❸✴➥➭❂✡✒❳ê✔➼(♦✄)✓❣✳➫✙ ❦✓❣✳➸CS✛②➨⑤❫✡✔➼✓❣✳❺✔➼Ý✡✦❙➮✤óä. Ù❣➂ ➫③❻✔➼✛✓❣✳Ñ➫✱❻✴❶✵↔lattice↕✛✴❽ê✵↔norm↕. 1
例1平面上最简单的格是所有整数点（即横纵坐标均为整数的点） 形成的集合L={(,)川z,y∈Z,一般将其记为Z2.利用线性组合的概念 又可以表成Ze1+Ze2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).这两个向量e1,e2称 为L的基(basis).此时，L中的每个向量(x,y)可被唯一写成xe1+ye2, 其范数（即长度的平方）恰好是 x2+y2. 这是一个正定二次型.一个格的基不必唯一，比如Z2还有基1=(-1，-2)，v2= (1,1),即Ze1+Ze2=Zw1+Z2.此时向量(x,y)可被唯一写成(x-y)v1+ (2x-)v2.注意向量(x,)的范数是 (x-y)2+(2x-y)2=5x2-6xy+2y2. 这仍是一个正定二次型，且正好是向量x1+y2的范数！ e2 格Z2 2
⑦1 ➨→þ⑩④ü✛❶➫↕❦✒ê✿ ↔❂î♣❿■þ➃✒ê✛✿↕ ✴↕✛✽ÜL = {(x, y)|x, y ∈ Z, ➌❸òÙP➃Z 2 . ⑤❫❶✺⑤Ü✛❱❣ q➀➧▲↕Ze1 + Ze2 , Ù➙e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) . ùü❻➉þe1, e2 → ➃L✛➘(basis). ❞➒➜ L➙✛③❻➉þ(x, y)➀✚➁➌✕↕xe1 + ye2 ➜ Ù❽ê(❂⑧Ý✛➨➄)❚Ð➫ x 2 + y 2 . ù➫➌❻✔➼✓❣✳. ➌❻❶✛➘Ø✼➁➌➜✬❳Z 2 ❸❦➘v1 = (−1, −2), v2 = (1, 1) , ❂Ze1 + Ze2 = Zv1 + Zv2 . ❞➒➉þ(x, y)➀✚➁➌✕↕(x − y)v1 + (2x − y)v2 . ✺➾➉þ (x, y)✛❽ê➫ (x − y) 2 + (2x − y) 2 = 5x 2 − 6xy + 2y 2 . ù❊➫➌❻✔➼✓❣✳➜❹✔Ð➫➉þ xv1 + yv2 ✛❽ê➐ ✲ ✲ ✻ e1 e2 ✒ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁☛ v1 v2 ✻ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ❶Z 2 2
例2设L=Z1+Z2,其中1=(1,0)，2=(-，).由于每个格点 的纵坐标必然为my,m∈Z,因此格L中的点不都是整数格点.但L中的 每个点xU)+yw2的范数是 x2+y2-ty 这仍是一个整系数正定二次型.注意山1=(-1,0)，2=(-，)也是一组 基，此时点xu1+yu2的范数是正定二次型 x2+2+xy! 格L 启示：一个格可以有多个正定（二次）型与之对应.问题：这些正定二次 型有何关系？这就引出一个非常重要而美丽的工具：矩阵. 3
⑦2 ✗L = Zv1 + Zv2➜Ù➙ v1 = (1, 0), v2 = (− 1 2 , √ 3 2 ) . ❞✉③❻❶✿ ✛♣❿■✼✱➃m √ 3 2 , m ∈ Z➜Ï❞❶ L➙✛✿ØÑ➫✒ê❶✿. ✂ L➙✛ ③❻✿ xv1 + yv2 ✛❽ê➫ x 2 + y 2 − xy. ù❊➫➌❻✒❳ê✔➼✓❣✳. ✺➾ u1 = (−1, 0), u2 = (− 1 2 , √ 3 2 )➃➫➌⑤ ➘➜❞➒✿xu1 + yu2 ✛❽ê➫✔➼✓❣✳ x 2 + y 2 + xy! ✲❏ ✲ ❏❪❏ v1 v2 = u2 ✻ u1 ✛ • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• • • • • •••• ❶L é➠➭➌❻❶➀➧❦õ❻✔➼(✓❣)✳❺❷é❆. ➥❑➭ù✡✔➼✓❣ ✳❦Û✬❳➸ùÒÚÑ➌❻➎⑦➢❻✌④✇✛óä➭Ý✡. 3
一个m×n矩阵A=(a)是m行n列的mn个数排成的矩形数阵： a11 a12 ain a21 a22 a2n A= =Amxn ami am2 amn 行数与列数相等的矩阵称为方阵.本课程主要涉及方阵. 矩阵可以自然地定义加减法，但最常用、最“自然的”矩阵乘法却多 少有点怪异：首先，矩阵Amxn与矩阵Bpxg做乘法要满足条件n=p,即第 一个（或左边）的矩阵的列数要等于第二个（或右边）的矩阵的行数.比 如两个同阶的方阵可以做乘法.乘法的规则如下：设Amxp=(a),Bpxn= (b),则它们的乘积Cmxn=AB=(c)的第i行第j列的元素c等于 k=1 此称为矩阵乘法的“左行右列”规则，即用左边矩阵的“行”乘右边 在的“列”，可以图示为 bij baj a2… aip … bpi 按照大家熟悉的语言，两个矩阵的乘积实际上是左边矩阵的行与右边 矩阵的列做内积：因此矩阵的乘法是按每个“元素”来做“乘法”运算， 从中可以看出该“乘法”实际上不是通常的（数字）乘法，而是数字乘法与加 法的混合体 4
➌❻m × nÝ✡A = (aij )➫m✶n✎✛mn❻êü↕✛Ý✴ê✡➭ A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn = Am×n ✶ê❺✎ê❷✤✛Ý✡→➃➄✡. ✢➅➜❒❻✕✾➄✡. Ý✡➀➧❣✱✴➼➶❭⑦④➜✂⑩⑦❫✦⑩✴❣✱✛✵Ý✡➛④✪õ ✟❦✿✪➱➭➘❦➜Ý✡Am×n❺ Ý✡Bp×q❽➛④❻÷✈❫❻n = p➜❂✶ ➌❻↔➼❺❃↕✛Ý✡✛✎ê❻✤✉✶✓❻↔➼♠❃↕✛Ý✡✛✶ê. ✬ ❳ü❻Ó✣✛➄✡➀➧❽➛④. ➛④✛✺❑❳❡➭✗Am×p = (aij ), Bp×n = (bkl)➜❑➜❶✛➛➮Cm×n = AB = (cij )✛✶i✶✶j✎✛✄❷cij✤✉ cij = X p k=1 aikbkj . ❞→➃Ý✡➛④✛✴❺✶♠✎✵✺❑➜❂❫❺❃Ý✡✛✴✶✵➛♠❃ ✸✛✴✎✵➜➀➧ã➠➃ ai1 ai2 · · · aip b1j b2j · · · bpj . ❯ì➀❬Ù●✛❾ó➜ü❻Ý✡✛➛➮➣❙þ➫❺❃Ý✡✛✶❺♠❃ Ý✡✛✎❽❙➮➯Ï❞Ý✡✛➛④➫ ❯③❻✴✄❷✵✺❽✴➛④✵✩➂➜ ❧➙➀➧✇Ñ❚✴➛④✵➣❙þØ➫Ï⑦✛(ê✐)➛④➜✌➫ê✐➛④❺❭ ④✛➲Ü◆. 4
3按矩阵柔法的定义，(10)（9)=0，(9)）(10)- (8) 两个同阶的方阵的乘积 ()08)-(8) 因此矩阵的乘法不满足交换律.这里 最主要的原因是矩阵的乘法本质上是“映射或函数的复合” 实际上，交换律是个非常好的东西：a+b=b+a,ab=ba!你证明过 吗？试试下面的两设题（其中·表示加法或乘法）： (1)235711131719917131117532=917131117532235711131719? (2)ev2V=√2ev2? 做矩阵加法时最简单矩阵是0，因为A+0=A.做乘法是最简单的矩 阵有2个，一个还是0，因为A0=0B=0:还有一个是类似于数字1的矩 阵，称为单位矩阵(identity matrix!或者unit matrix),记为I(线性代数中常 常记为E),其长相如下 1 0 0 0 0 1 0 In Inxn =diag(1,1,…,1) 00 0… 性质AmxnIn=A,InBnxq=B.特别，若A是n阶方阵，则AI= IA=A. 矩阵的威力：(1)Fibonacci(Leonardo Fibonacci,1170-l250,Italian)数 列是指Fo=0,乃=1，Fn+1=Fn-1+Fn,n≥2.问题：Fn的通项是什么？ (2)图像的存储与传输 5
⑦3 ❯Ý✡➛④✛➼➶➜ 1 0 0 1 ! = 0➜ ✂ 0 1 ! 1 0 = 0 0 1 0 ! . ü❻Ó✣✛➄✡✛➛➮➭ 0 0 1 0 ! 1 0 0 0 ! = 0 0 1 0 ! ➜ ✌ 1 0 0 0 ! 0 0 1 0 ! = 0 0 0 0 ! . Ï❞Ý✡✛➛④Ø÷✈✂❺➷. ù♣ ⑩❒❻✛✝Ï➫Ý✡✛➛④✢➓þ➫✴◆✓➼➻ê✛❊Ü✵. ➣❙þ➜✂❺➷➫❻➎⑦Ð✛➚Ü➭a + b = b + a, ab = ba! ❭②➨▲ í➸➪➪❡→✛ü✗❑(Ù➙♣▲➠❭④➼➛④)➭ (1) 235711131719♣917131117532 = 917131117532♣235711131719? (2) e √ 2♣ √ 2 e = √ 2 e ♣e √ 2 ? ❽Ý✡❭④➒⑩④üÝ✡➫ 0 ➜Ï➃A + 0 = A. ❽➛④➫⑩④ü✛Ý ✡❦2❻➜➌❻❸➫ 0 ➜Ï➃A0 = 0B = 0➯❸❦➌❻➫❛q✉ê✐ 1 ✛Ý ✡➜→➃ü➔Ý✡(identity matrix➼öunit matrix)➜P➃I (❶✺➇ê➙⑦ ⑦P➃ E)➜Ù⑧❷❳❡ In = In×n = 1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · 1 = diag(1, 1, · · · , 1). ✺➓ Am×nIn = A, InBn×q = B. ❆❖➜❡A ➫n ✣➄✡➜❑AI = IA = A. Ý✡✛✪å➭(1) Fibonacci (Leonardo Fibonacci, 1170-1250, Italian)ê ✎➫➁F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn−1 + Fn, n ≥ 2. ➥❑➭Fn✛Ï➅➫➓♦➸ (2)ã➈✛⑧❀❺❉Ñ 5