商代至少应有加法、减法和乘法运算，只是没有明确的记 载。实际上，甲骨文只能记录结果，而不能记载算法和运算过 程。 周代以后有了一些运算的记载，例如战国时李悝（音魁 ku)在《法经》中以一户农民为例计算了收支情况：“今一夫挟 五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石（用现代记号来 写就是1.5×100=150，下同)，除十一之税十五石(0 = 15),余百三十五石(150-15=135)。食：人月一石半，五人终 岁为粟九十石(1.5×12×5=90)，余有四十五石(135一90= 45)。石三十[钱]，为钱千三百五十(30×45=1350)，除社闾尝 新春秋之祠用钱三百，余千五十(1350一300=1050)。衣：五人 终岁用千五百，不足四百五十(1050一1500=一450)”.这笔帐 里用到了减法、乘法和除法，由于加法早已通行，所以这里算 术四则运算已经齐备了。特别值得注意的是计算中最后还出 现了“不足”的数，李悝未必理解现代观点下的负数，但却为负 数概念的形成提供了实例。 从出土的文物来看，春秋战国时期的文献中已有乘法口 决。次序与现代不同，由“九九八十一”开始。因此又称乘法口 决或乘法表为“九九”，这种次序流行了一千六、七百年，直到 南宋初才改为现今的顺序。 我国使用分数的时间应该很早，至迟在春秋战国时期（特 别是战国)的著作中有许多有关分数及其应用的记载。例如 《墨子》中讲到有关食盐分配问题时有：“二升少半”和“一升大 半”的记载。其中“少半“和“大半”就是号和子，还有当时称 “半的，即为2，这些都是当时分数的专用名词。《商君书》中 9 -21
有这样的记载：“地方百里者，山陵处计一，薮泽处计一，谿谷 流水处计一，都邑蹊道处计一，恶田处计二，良田处计四”。就 是说一百平方里的地区内各种地貌所占的比例是多少，即前 四种各占。后两种分别为品和。《考工记》是一部技术手 册，其中包括有些器具的规格，不仅用到大量分数，而且有了 分数运算的萌芽。例如“六分其轮崇，以其-一为牙围，叁分其牙 围漆其二”。就是说把轮崇六等分，取其一份（即轮崇的：）为 牙围，再把牙围三等分，让其中的二份（即牙围的子）涂上漆。 甲骨文中有“正河”的记载。所谓“正河”就是兴修水利， 夏、商时代已开始兴修水利工程，相传夏禹曾领导过治水。另 外考古学家从河南偃师二里头发掘出来的商初时代宫殿遗 址，规模宏伟，单是台基面积就约有一万平方米，墙基很直，柱 孔排列整齐，并且分布均匀。这样的大型建筑以及水利工程等 必然要用到测绘和几何知识。 《史记·夏本纪》在讲到夏代的一次治水工程时，提到了 “准绳”和“规矩”，“准绳”是指水准测量或直线测量，“规矩”则 是两件绘图工具，就是画圆的规和画直线及直角的矩。商代的 甲骨文中规写作“叙”，矩写作“仁”，后来的矩是曲尺形。由此 推测规矩的发明可能还要早得多。 公元前100年左右成书的《周髀（音毕b)算经》卷上记 载着商高回答周公的话：“…故折矩以为句（音g0u,与勾 同)广三，股修四经隅（弦）五…”，这就是说，大约在公元前 1100年的时候，已经有了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特 殊情况，但不足以肯定商高时代（周初约公元前1100年）对勾 股定理的一般情况已经有了认识。《周髀算经》内有应用勾平 6 -22-
方加股平方等于弦平方的公式，但没有证明。 商代已普遍使用车子，仅考古学家在河南安阳殷墟就多 次发现过车子的遗迹。制造车子需要用到等分圆孤的知识，这 足以表明当时已会运用测绘工具及必要的计算。 春秋战国时代由于战争和生产的需要，修建了不少军事 工程和水利工程，这就必须进行测量和设计、包括统计工程的 期限，需用的材料，土方的多少等等，这必然涉及大量几何知 识，包括立体几何的体积计算（土方的计算）以及平面几何对 长方形、三角形、梯形、圆等等的面积计算。 各种形状的磨制品在春秋战国时期的遗物中也屡有发 现，其中最引人注意的是1971年在山东临淄郎家庄出土的约 公元前500一400年的殉人墓中的水晶珠（图1-14）。这种水 晶珠呈简单的半正多面体形状，通过观察，可知其磨制过程： 先把水晶块磨成正六面体，再磨去八个角（有一定要求）便形 成为一种半正多面体。它的表面由六个相等的正方形和八个 相等的三角形构成。并且所有的二面角都相等。这个水晶珠 体现了当时很高的工艺水平和几何水平。 在同一殉人墓中出土的一件漆器上还有很规则的正方 形、平行线、三角形、平行四边形、菱形、长方形、同心圆等等各 种几何图形（图1-15）。 匪哑 半正多面体 白 水晶珠 图1-14 图1-15郎家庄出土漆器的几何图案 ·23
战国时期已经有了很好的 技术平面图。例如在河北省出 土的战国时中山国墓中的一块 铜片上有一幅建筑平面图，表 现出当时制图技巧已达到很高 图1-16古磬的线图 的水平。 战国时，在制造各种工具、器械、乐器过程中，常常会遇到 需要用到角的概念。在《考工记》一书中对于角和几种特殊角 都有专门的名称，把非直角的角称为“倨句（音具勾u9ou)”, “倨”是钝角，“句”是锐角。直角称为“倨句中矩”或简称“一 矩”。例如“磐氏为磐；倨句一矩有半”。“磐”是古代的一种石 制乐器（图1-16），把大小不等的几个磐按大小次序为一组吊 起来敲打即可发生乐声，“磐氏”是指制造石磐的工匠。“倨句 一矩有半”是指石磐背部的折角的规格，其大小是一个直角 (矩)再加上半个直角，相当于90°+号×90°=135°。在同一书 中还有关于车辆规格的记载，包括一些构件角度大小的规定， 并且把不同角度的构件取了专门名称，即“车人之事：半矩谓 之宣，一宣有半谓之橘（音竹zhú），一牖有半谓之柯，一柯有 半谓之磐折”。角度的大小相当于： 宣为 3×90°=45， 橘为 45+号×45°-6730： 柯为 6730+7×67*30=10115, 磐折为 10115+2×10115'=15152'5。 其中磐折就是石磐背部的标准折角。 —24-
通过上述数学知识的长期积累，到春秋战国时代，内容已 经相当丰富了，于是人们必然要尝试进行理论的研究和提出 看法。《墨子》等书中所讨论的若干几何概念就是数学理论研 究在我国最初尝试的体现。《墨子》一书是我国墨家学派的一 本内容丰富的科学论著，其中包括《经上》、《经说上》、《经下》 和《经说下》四篇，合称《墨经》，对光学力学、逻辑学和几何学 等方面的问题都试图从理论上进行探讨。墨家学派在某些方 面和稍晚的希腊学者亚里士多德(Aristotle,公元前384 322年)很相似。他们都曾尝试把形式逻辑学用于数学（主要 是几何)。如果说亚里士多德是西方逻辑形式系统的创造者的 话，那么墨家学派则是东方逻辑学的奠基人。 《墨经》中记载着墨家给一些几何概念所下的定义。如： “平，同高也”。这是“平”的定义，可能是指平行线。 “直，参也”。这是直线的定义，“参”就是“三”，是说三个点 共线的问题。 “同长，以正相尽也”。这是两线段相等的定义，“正相尽” 是说正好重合的意思。 “中，同长也”。这是线段中点的定义。“中”即线段的中点。 “同长”是说中点到线段两个端点的距离相等。 还有如：“圜，一中同长也”。“圜”就是圆，这是关于圆的定 义。“一中”是说有一个中心，“一中同长”是说到一个中心有相 等距离的点所构成的图形。 “方，柱隅四匝也”。这是关于正方形或矩形的定义。 此外《墨经》还有关于点、线、面、体的说明，以及它们之间 的关系。甚至书中还有“穷，或有前不容尺也”的断言，意思是： 用一个线段去量另一个线段总能量到不够量的时候。 所有这些都是尝试用形式逻辑方法去定义几何概念。从 -25