当x→>0时,常用的等价无穷小 x- sinx tanx c arcsinx arctan x-e-1-In(1+x) COSX I- ax
当 x → 0时，常用的等价无穷小： sin tan arcsin arctan 1 ln(1 ). x x x x x x e − + x ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ( ) 1 2 1 cos , 1 1 . 2 x x x x α − + ∼ ∼ − α
4连续函数 函数f(x)在x处连续台m(x)2=f(x) lim△y=0; x→>0 台VE>0,36>0,当x-x<0有 limf(x)=A
4.连续函数 ⑴函数 f x( ) 在x0 处连续 lim ( ) ( 0 ); x f x f x →∞ ⇔ = 0 lim 0; x y ∆ → ⇔ ∆ = 0 ⇔ ∀ε > 0,∃δ δ > 0, 当 有 x x − < lim ( ) . x f x = A
(2)单侧连续 左连续lmf(x)=f(x) 右连续imf(x)=f(x) x->x0 定理函数f(x)在x点连续分→f(x座x点既是左连 续的又是右连续的
⑵单侧连续 左连续 ( ) ( ) 0 0 lim , x x f x f x → − = 右连续 ( ) ( ) 0 0 lim . x x f x f x → + = 定理 函数 在 点连续 在 点既是左连 续的又是右连续的． ( ) 0 f x x ⇔ ( ) 0 f x x
(3)间断点及间断点的分类 若函数f(x)在x点不连续,则x称为函数的间断点 设x为f(x)的间断点: ①lmf(x)在,x为可去间断点 x→ 第一类间断 ②f(x-0)≠f(x+0); 点 ③f(x-0),f(x+0)至少有一不存在第二类间断 点
⑶间断点及间断点的分类 若函数 f x( ) 在 x 0点不连续，则 x 0称为函数的间断点． 设 x 0 为 f x( )的间断点： ① ( ) 存 在 为可去间断点； 0 0 l i m , x x f x x → ② f x( 0 0 − ≠ 0 0 ) f x( + ); 第一类间断 点． ③ 至少有一不存在．第二类间断 点． f x( 0 0 − 0 ,) f x( + 0 )
定理初等函数在定义域内为连续函数 闭区间上连续函数的性质设f(x)∈Cla则 ①f(x)在闭区间上可取到最大值和最小值,从而有界 ②f(x)在闭区间上可取到介于最大值和最小值中的 切值 ③若f(a)f(b)<0,→3∈(a,b)~f()=0
定理 初等函数在定义域内为连续函数． 闭区间上连续函数的性质 设 f ( x C )∈ [a, , b] 则 ① f ( ) x 在闭区间上可取到最大值和最小值，从而有界． ② 在闭区间上可取到介于最大值和最小值中的一 切值． f ( ) x ③若 f a( ) f (b) ( < 0,⇒ ∃ξ ξ ∈ a,b) ∧ f ( ) = 0