第三节 第十章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章
一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,z)∈C,求分布在Q内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=之4(5n5a △Vg k= (5k,7k,5) HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.设f(x,y,z),(x,y,)∈2，若对2作任意分割 △%(k=1,2,.,n),任意取点(5，k,5k)∈△vk,下列 积和式”极 “乘 m∑f5,nk5)A起00/，x 记作 λ-→ k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,2)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7，)∈①，使得 。fx,x)dy=f5n,5)y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 方法 方法1.投影法（先一后二”） 方法2.截面法（先二后一”）》 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法1.投影法(（“先一后二”) z=22(x,y) 刀 三重积分为 z=z(xjy) ∬2fx,y)dv d-xd dxdy 昨ndxd时fxy: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y = D D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 三重积分为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束