9.2.2特殊集合 空集和全集是两个特殊集合.它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要.下面 介绍这两个集合. 定义9.2.5不含任何元素的集合称为空集， 记作Φ.空集的定义也可以写成 Φ={XXX). 显然，(X)(XΦD)为真. 下面介绍有关空集的两个重要结论
9．2．2 特殊集合 空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合． § 定义9．2．5 不含任何元素的集合称为空集， 记作．空集的定义也可以写成 ＝{x|x≠x)． 显然，(x)(x)为真． 下面介绍有关空集的两个重要结论．
·定理9.2.3对任意的集合A,ΦcA. 证明假设存在集合A,使Φ车A,则存在x,使X∈Φ 且X任A.这与空集声Φ的定义矛盾，所以定理得 证. 推论9.2.1空集是唯一的， 证明留作思考题（只要假设有两个空集Φ和Φ，，证 明Φ=Φ，即可)
§ 定理9．2．3 对任意的集合A， A． 证明 假设存在集合A，使 A，则存在x，使x 且xA．这与空集声的定义矛盾，所以定理得 证． § 推论9．2．1 空集是唯一的， 证明留作思考题(只要假设有两个空集和，，证 明＝，即可)
定义9.2.6在给定的问题中，所考虑的所 有事物的集合称为全集，记作E.全集的定义 也可以写成 E={xx=x) 全集的概念相当于谓词逻辑的论域.对不同 的问题，往往使用不同的论域，例如在研究 有关实数的问题时，就以R为全集
§ 定义9．2．6 在给定的问题中，所考虑的所 有事物的集合称为全集，记作E.全集的定义 也可以写成 E＝{x|x＝x}． 全集的概念相当于谓词逻辑的论域．对不同 的问题，往往使用不同的论域，例如在研究 有关实数的问题时，就以R为全集．
9.3集合的运算 运算是数学上常用的手段.两个实数进行加法运算 可以得到一个新的实数.类似地，两个集合也可以 进行运算，得到交集、并集等新的集合.集合的运 算是由己知集合构造新集合的一种方法.我们经常 从若干简单集合出发，用运算构造大量新集合，这 类似于用逻辑联结词构造出大量合式公式.集合的 运算式子也是表示这些新集合的一种方法，而且往 往是更简捷的表示方法.所以，集合的运算式子是 表示集合的第三种方法.这种表示方法不仅简捷， 而且可利用运算的性质简化一些证明问题
9．3集合的运算 § 运算是数学上常用的手段．两个实数进行加法运算 可以得到一个新的实数．类似地，两个集合也可以 进行运算，得到交集、并集等新的集合．集合的运 算是由已知集合构造新集合的一种方法．我们经常 从若干简单集合出发，用运算构造大量新集合，这 类似于用逻辑联结词构造出大量合式公式．集合的 运算式子也是表示这些新集合的一种方法，而且往 往是更简捷的表示方法．所以，集合的运算式子是 表示集合的第三种方法．这种表示方法不仅简捷， 而且可利用运算的性质简化一些证明问题．
9.3.1集合的基本运算 下面介绍的5种运算是集合论中的基本运算， 定义9.3.1对集合A和B, (1)并集AUB定义为 AUB={XX∈AVX∈B}, (2)交集AnB定义为 AnB={xx∈Ax∈B}. (3)差集（又称B对A的相对补集，补集）A-B定义为 A-B={xX∈AXEB}. (4)余集（又称A的绝对补集）-A定义为 A=E-A={XA},(其中E为全集.A的余集就是A对E的相对补 集.) (5)对称差A①B定义为 A⊕B=(A-B)U(B-A)={XX∈AVX∈B}
9．3．1 集合的基本运算 下面介绍的5种运算是集合论中的基本运算， § 定义9．3．1 对集合A和B， (1)并集AUB定义为 AUB＝{x|xAVxB}， (2)交集AnB定义为 AnB={x|xA^xB}． (3)差集(又称B对A的相对补集，补集)A-B定义为 A-B＝{x|xA^xB}． (4)余集(又称A的绝对补集)-A定义为 -A=E-A＝{x|xA}，(其中E为全集．A的余集就是A对E的相对补 集．) (5)对称差AB定义为 AB＝(A－B)U(B－A)＝{x|xA V xB}．