定义9.2.2对任意两个集合A和B,若A的每个元素都是B的元素，就 称A为B的子集合，或称B包含A,或称B是A的超集合，记作 AcB或B2A.这个定义也可以写成 AcB<=>(HX)X∈A→X∈B). 当A不是B的子集合时，即AcB不成立时，记作A生B(子集合可简称为子 集)。 注意区分c和∈.例如 {a}主{a,b}但{a∈{a},b}, fa,b)cla,b,fa)}a,bpefa,b,fa)). AB表示A是B的一个元素，AcB表示A的每个元素都是B的元素.此外， ∈是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由∈定义出来的概 念
§ 定义9．2．2 对任意两个集合A和B，若A的每个元素都是B的元素，就 称A为B的子集合，或称B包含A，或称B是A的超集合，记作 AB 或 BA．这个定义也可以写成 AB<=>(x)(xA→xB)． 当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。 § 注意区分和．例如 {a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}， {a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}． AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
下面给出有关=和三的两个主要结论， ■ 定理9.2.1两个集合相等的充要条件是它们互为子 集，即A=B<=>(ACBBCA). 证明 A-B <=>(X)(X∈A←-→X∈B) <=>(付X)(X∈A→X∈B)(X∈B→X∈A) <=>(付X)(X∈A-→X∈B)(X)(X∈B→X∈A) <=>ACBABCA. 这个定理很重要，以后证明两个集合相等时，主要 使用这个定理，判定两个集合互为子集
下面给出有关=和三的两个主要结论， § 定理9.2.1 两个集合相等的充要条件是它们互为子 集，即A＝B<=>(AB^BA)． 证明 A＝B <=>(x)(xA←→xB) <=>(x)((xA→xB)^(xB→xA)) <=>(x)(xA→xB)^(x)(xB→xA) <=>AB^BA． 这个定理很重要，以后证明两个集合相等时，主要 使用这个定理，判定两个集合互为子集．
·定理9.2.2对任意的集合A,B和C; (1)ACA. (2)(ACBABCA)=>A=B (3)(ACB BCC)=>ACC 在这个定理中，(1)是自反性，(2)是反对称性（这是定理 9.2.1的一部分)，（③）是传递性.定理9.2.2说明包含关 系具有这3个性质（实数间的≤关系也有这3个性质） 应该指出，∈没有这3个性质.(1)以后将证明，对任意的集 合A,AEA.(2)以后将证明，对任意的集合A和B,一 (A∈BBeA).`(3)对任意的集合A、B和C,当A∈B和B∈C时， 不一定有A∈C.以后将指出，C为传递集合时才能推出A∈C
§ 定理9．2．2 对任意的集合A，B和C； (1)AA． (2)(AB^BA)=>A=B (3)(AB^BC)=>AC 在这个定理中，(1)是自反性，(2)是反对称性(这是定理 9．2．1的一部分)，(3)是传递性．定理9．2．2说明包含关 系具有这3个性质(实数间的≤关系也有这3个性质)． § 应该指出，没有这3个性质．(1)以后将证明，对任意的集 合A，AA．(2)以后将证明，对任意的集合A和B，﹁ (AB^BA)．(3)对任意的集合A、B和C，当AB和BC时， 不一定有AC．以后将指出，C为传递集合时才能推出AC
定义9.2.3对任意两个集合A和B,若AcB 且AB,就称A为B的真子集，或称B真包含A, 或称B是A的真超集合，记作 AcB或B-A, 这个定义也可以写成 ACB<=>(ACBA#B)
§ 定义9．2．3 对任意两个集合A和B，若AB 且A≠B，就称A为B的真子集，或称B真包含A， 或称B是A的真超集合，记作 AB或BA， § 这个定义也可以写成 AB<=>(AB^A≠B)
定义9.2.4若两个集合A和B没有公共元素，就 称A和B是不相交的. 这个定义也可以写成 A和B不相交<=>一（日x)(X∈AX∈B). 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的. 例如 {1,2}c{1,2,3}, {1,2}{1,2}, {1,2}和3,4,5}不相交， {1,2}和2,3,4}相交
§ 定义9．2．4 若两个集合A和B没有公共元素，就 称A和B是不相交的． 这个定义也可以写成 A和B不相交<=>﹁(x)(xA^xB)． § 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的． 例如 {1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交