例如f(x)={2 x≠0 0,x=0 王在=0点任意可导,且f(0)=0(m=012,) 庄(x)麦氏级数为∑0x 王该级数在(+内和函数()=0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x) 上页
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
庄定理21(在点x的泰勒级数在U(x)内收 敛于∫(x)分在U(x0)内lmRn(x)=0 n→ 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, /()=2( (x-xo)+rn(x) i=0 i EF:R, (x)=f(x)-suni(x),. lim Sui (x)=f(x) lim r,(x)=limf(x)-sm1(x)=0; n→0 上页
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性∵∫(x)-sn1(x)=Rn(x) LL lim[f(x)-Snt+(x)1=lim R, (x)=0, n→0 即 lim s1(x)=∫(x), n→0 /)的秦勒级数收敛于(x 定理3设∫(x)在U(x)上有定义,丑M>0,对 x∈(xn-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,2,,则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 上页
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明 (n+1) n+1 CT R,(x) (号 (x-xn)+1 (n+1) )≤M x-x 0 (n+1) 庄x-x n+1 x∈(x0-R,x0+R) h(n+1) 在(-∞,+0)收敛, n+1 王:hmKx,=0,故lmE(x)=0 n→ x∈(x0-R,x0+R) 牛:可展成点的泰勒级数 上页
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R