6.2.2方阵的特征值和特征向量的性质 性质1n阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特 征值。 性质2设為2…是矩阵A的个特征值, 1)A +2+…+1n=a1+a2+…+am 2)412…=A 称41+a2+…+Cm为矩阵A的迹,记为(A
6.2.2 方阵的特征值和特征向量的性质 性质1 阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特 征值。 性质2 设 是矩阵A的 个特征值， 则 1) 2) 称 为矩阵A的迹，记为 n 1 2 , , , n n 1 2 11 22 n nn + + + = + + + a a a 1 2 n = A 11 22 nn a a a + + + tr( ) A
性质3设λ为方阵A的特征值,则 1)当A可逆时,是A的特征值 2)△是A的伴随矩阵aA的特征值 3)mE∈N是A的特征值;进而有矩阵A的m 次多项式 f( A=aA+aA++aA+aI 的特征值为 f(4)=a0元+a1 n+a
性质3 设 为方阵A的特征值，则 1）当A可逆时， 是 的特征值 2） 是A的伴随矩阵 的特征值 3） 是 的特征值；进而有矩阵A的 次多项式 的特征值为 1 −1 A A adj A( ) ( ) m m N m A m 1 0 1 1 ( ) m m m m f a a a a − − A A A A I = + + + + 1 0 1 1 ( ) m m m m f a a a a − = + + + −
例6.5设矩阵4021 00 1)求及的特征值; 2)进一步求矩阵的特征值 解:1)由A的特征方程 2 -A|=02-2-1|=(1-102-22+1)0 0+1 可得A的全部特征值为1,2,-1 f(A)=2A+A-5的特征值为fx)=24+4-5 即-2,13,-8
例6.5 设矩阵 1)求及的特征值； 2)进一步求矩阵的特征值。 解： 1）由A的特征方程 可得A的全部特征值为1，2，-1。 的特征值为 ，即-2,13,-8。 1 1 2 0 2 1 0 0 1 A − = − 1 1 2 0 2 1 ( 1)( 2)( 1) 0 0 0 1 − − = − − = − − + + I - A = f 3 (A) = 2A + A - 5I 3 ( ) 2 5 i i i f = + −
2) 解法1:先计算A,令B=1+A,求出特征方 程a-B=0的根即可 解法2:因为A=44243=2≠0所以A可逆,P 为对应于A的特征值λ的特征向量,则 又AP=2 所以(+A)P=(1+)P21=12.3 从而矩阵I+A的特征值为+x,即20
2） 解法1：先计算 ，令 ，求出特征方 程 的根即可。 解法2：因为 所以A可逆， 为对应于A的特征值 的特征向量，则 又 所以 从而矩阵 的特征值为 ，即 −1 A -1 B = I + A I -B = 0 1 2 3 A = = − 2 0, i p i 1 i p p = -1 A i i p p i i I = 1 (1 ) , 1,2,3 i p p i = + = -1 i i (I + A ) −1 I A+ 1 1 i + 3 2, ,0 2
定理6.1设A,42…,为方阵A的互不相同的 特征值,42分别为对应于特征值4424 的特征向量,则12线性无关 推论矩阵A的m个互不相同特征值所对应 的m组各自线性无关的特征向量并在一起 仍是线性无关的
定理6.1 设 为方阵A的互不相同的 特征值， 分别为对应于特征值 的特征向量，则 线性无关。 推论 矩阵A的 个互不相同特征值所对应 的 组各自线性无关的特征向量并在一起 仍是线性无关的。 1 2 , , , m , 1 2 m ξ ,ξ , ξ 1 2 , , , m , 1 2 m ξ ,ξ , ξ m m