《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第8章 多元函数微分学及其应用 Ch 8-2 偏导数与全微分

二元函数偏导数的几何意义：7dafMx=Xoaxdxx =Xy=yoT1z= f(x,V在点M处的切线是曲线y= yoVOMoT对 x轴的斜率xodafxx=XooydyVOy=yoz = f(x,y)在点Mo处的切线 M.T,对y轴的是曲线x = xo斜率oleoe机动自录上页下页返回结束

二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = =   = =    = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = =   = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的

注:函数在某点各偏导数都存在但在该点不一定连续xy+y±0O例如,z= f(x,y)=x~+y0+v~=0x2d显然f(0, 0)0:0dxx :d=0f'(0, 0)f(0, y)y=0dy在上节已证f(x，y)在点(O,0)并不连续！10ool0x上节例目录上页下页返回结束

函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如,      + = +  = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注: 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

例1.求z=x2+3xy+2在点(1,2)处的偏导数azaz解法1:=2x+3y,3x+2yaxoyozOz2.1+3.2=8.=3.1+2.2= 70y|(1,2)0x (1,2)解法2:y=2= x~ +6x+47az(2x + 6)一0x/(1, 2)[x=1 = 1+3y+y2Oz(1, 2)= (3 + 2y)J=2 = 7-O1o0x机动自录上页下页返回结束

例1 . 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1: =   x z x (1,2) z    解法2: x (1, 2) z   在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z   2x + 3y , =   y z 3x + 2y y (1,2) z   6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 设z=x（x>0, 且x≠D,求证1 ozx Oz2zyoxIn x OyOzOz3证:ln x-oyOx1x OzOz=xy+x=2zInx Oyyx例3. 求r=/? +y2的偏导数+ z2xarx解:?2 /x? + y22axr+ZOrOrZyoyOzrreooox机动目录上页下页返回结束

例2. 设 z = x y ( x  0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   证: y z x x z y x   +    ln 1 例3. 求 的偏导数 . 解: =   x r 求证 = 2z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r =   机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4．已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数),aTavap求证：avaTopRTRTop证:p2说明：此例表明VavRT偏导数记号是一个RavVaTp整体记号，不能看作pOTpVV分子与分母的商！T.RopRRTaTavapavaTpvapOeo0x机动目录上页下页返回结束

偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1         p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = =          p T T V V p 说明: (R 为常数) , =   V p 2 V RT − =   T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号