《线性代数》课程教学资源（试卷试题）第一章 行列式（典型例题详解）

第一章行行列式典型例题解答例1.1计算二阶行列式D=27-1. 4解由定义D=/227=2×4-7×(-1)=15-1 4 x -3x, = 2,2求解线性方程组例1. 2[2x +x, = -1[1-3解D==1-(-6)=7±02112=2-3=-1, D, =-1-4=-52.2-1故方程组的解为1X =>5X2=-734例1.3设D=41求元素x的余子式及代数余子式x，123[3 4]解元素x的余子式M23=6-4=221代数余子式A,=(-1)2+3M3=-2[1 2-2]例1.4已知D=0-23，求004(1) A+A2 + A3:(2) Au+2A2-2A3 ;(3)-2A2+3A3.-

1 第一章 行列式典型例题解答 例 1.1 计算二阶行列式 2 7 1 4 D   . 解 由定义 2 7 2 4 7 ( 1) 15 1 4 D         . 例 1.2 求解线性方程组 1 2 1 2 3 2, 2 1. x x x x         解 1 3 1 ( 6) 7 0 2 1 D        ， 1 2 3 2 3 1 1 1 D        ， 2 1 2 1 4 5 2 1 D        ， 故方程组的解为 1 2 1 , 7 5 . 7 x x          例 1.3 设 3 4 1 4 1 1 2 3 D x  ，求元素 x 的余子式及代数余子式. 解 元素 x 的余子式 23 3 4 6 4 2 1 2 M     ， 代数余子式 2 3 23 23 A M ( 1) 2      . 例 1.4 已知 1 2 2 0 2 3 0 0 4 D    ，求 （1） A A A 11 12 13   ； （2） 11 12 13 A A A   2 2 ； （3） 12 13   2 3 A A

解 (1) 4+4a+4;=(-1)/ +(-1)/。 +(-1-X1040400（2）该式相当于将行列式D按第一行展开，故等于D的值，即A, +2A2-2A =D=1×(-2)×4=-8;（3）该式相当于用行列式第二行各元素乘以第一行对应元素的代数余子式，因此-2A2 +3A3 =0.例1.5设三阶行列式D第一行元素分别为1，3，4，且第一行元素所对应的余子式的值分别为2，-1，3，求行列式D的值解因M,=2，M/2=-1，M3=3，从而A=2，A2=1，A3=3，依行列式的定义，D=1×2+3×1+4x3=17111468例1.6计算行列式D=45710解 (法一)依行列式的拉普拉斯（Laplace）展开定理，有D=aAi+a2A2+ai3A=1(- +(- ++(-1)71051057=4+0-2=2一般情况下，行列式的展开选择按零元素最多的行或列进行（法二）将第一列各元素同乘以（-1）分别加到第二列和第三列的对应元素上，再按第一行展开，即110[24]D=4 642=2[2 5]5710525通常情况下，行列式的计算需要将行列式的性质和拉普拉斯（Laplace）展2

2 解 （1）   1 3 1 1 1 2 11 12 13 2 3 0 3 0 2 ( 1) ( 1) 1 8 0 4 0 4 0 0 A A A                ； （2）该式相当于将行列式 D 按第一行展开，故等于 D 的值，即 11 12 13 A A A D          2 2 1 ( 2) 4 8 ； （3）该式相当于用行列式第二行各元素乘以第一行对应元素的代数余 子式，因此 12 13    2 3 0 A A . 例 1.5 设三阶行列式 D 第一行元素分别为 1，3，4 ，且第一行元素所对应 的余子式的值分别为 2 ，1，3，求行列式 D 的值. 解 因 11 M  2， 12 M  1， 13 M  3，从而 11 A  2， 12 A 1， 13 A  3 ，依行 列式的定义， D        1 2 3 1 4 3 17. 例 1.6 计算行列式 1 1 1 4 6 8 5 7 10 D  . 解 （法一） 依行列式的拉普拉斯（Laplace）展开定理，有 D a A a A a A    11 11 12 12 13 13 1 1 1 2 1 3 6 8 4 8 4 6 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 7 10 5 10 5 7 4 0 2 2.                 一般情况下，行列式的展开选择按零元素最多的行或列进行. （法二） 将第一列各元素同乘以（1 ）分别加到第二列和第三列的对应元素上，再 按第一行展开，即 1 1 1 1 0 0 2 4 4 6 8 4 2 4 2 2 5 5 7 10 5 2 5 D     . 通常情况下，行列式的计算需要将行列式的性质和拉普拉斯（Laplace）展

开定理结合起来使用12-119939697例1.7计算行列式D=-13-4解该行列式的第二行元素均可看成是两个元素之和，即212-11-1D=199 39697-1+200-4+4003+(-100)3-1-43-1-421-12-1[121-1200-4324400-100=1001---13 33-4-1-4-1-42[1[121-10=100|0-221-1000= 200.00-2201[12425例1.8已知f(x)=15，证明至少存在一点E(2,5)，使得f()=01xx[1证因为1242X21432521= 3(x2 7x+10),f(x)=1 5=22x2.xx?x-20显然函数f(x)在[2,5]上连续，在(2,5)内可导，且f(2)=f(5)=0，故由罗尔定理，至少存在一点e(2,5)，使得f()=0.2caa, +3b,b.bc例1.92c=2，计算D=b,已知az+3b,b2C2a22casbea,+3b,b2C3解由已知条件可得2cj[a, + 3b,b2cJa,b2c3b,b2cbb,2cb2c23b,2c2b22c2a, + 3b,lg=2D=2,2c02c,3b3b,2cb,2c3a, +3b,b,asas3

3 开定理结合起来使用. 例 1.7 计算行列式 1 2 1 199 396 97 1 4 3 D      . 解 该行列式的第二行元素均可看成是两个元素之和，即 1 2 1 D= 199 396 97 1 4 3     1 2 1 1 200 4 400 3 ( 100) 1 4 3           1 2 1 1 2 1 200 400 100 1 4 3 1 4 3 1 4 3            1 2 1 100 2 4 1 1 4 3      1 2 1 1 2 1 100 0 0 1 100 0 2 2 200 0 2 2 0 0 1         . 例 1.8 已知 2 1 2 4 ( ) 1 5 25 1 f x x x  ，证明至少存在一点  (2,5) ，使得 f ( ) 0   . 证 因为 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4 3 21 ( ) 1 5 25 0 3 21 3( 7 10) 2 4 1 0 2 4 f x x x x x x x x x           ， 显然函数 f x( ) 在 [2,5] 上连续，在 (2,5) 内可导，且 f f (2) (5) 0   ，故由罗尔定 理，至少存在一点  (2,5) ，使得 f ( ) 0   . 例 1.9 已知 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 a b b c a b b c a b b c     ，计算 111 222 333 a b c D a b c a b c  . 解 由已知条件可得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 a b b c a b c b b c a b c a b b c a b c b b c a b c D a b b c a b c b b c a b c        

abc因此所求行列式值为D=az b, c=1.[ab,c例1.10设四阶行列式D的第三列元素分别为2，-1，3，0，且第三列元素所对应的余子式分别为4，-3，5，2，计算行列式D的值解由己知，Mi3=4,M23=-3,M33=5,M43=2,则A3=4,A23=3,A3=5,A43=-2,又ai3=2，a23=-1,a3=3，a43=0,依行列式的Laplace展开式定理有D=2×4+(-1)×3+3×5+0×(-2)=2011000200例1.11计算行列式D=00300004解该行列式为上三角行列式，则11000200D=1×2×3×4=24.003040001111-1例1.12计算行列式D=-11-11-1解将第一行各元素乘以（-1）后，分别加到第二、三、四行的对应元素上去，再按第一列进行展开，即1111110-2220-2021-20-2D:-200-21-2-20-20-0-2再将第一列元素乘以（-1）后加到第三列的对应元素上，然后按第二行展开，4

4 因此所求行列式值为 111 222 333 1 a b c D a b c a b c   . 例 1.10 设四阶行列式 D 的第三列元素分别为 2，-1，3，0，且第三列元素 所对应的余子式分别为 4，-3，5，2，计算行列式 D 的值. 解 由已知， 13 M  4， 23 M  3， 33 M  5， 43 M  2， 则 13 A  4， 23 A  3， 33 A  5， 43 A  2 ， 又 13 a  2， 23 a  1， 33 a  3， 43 a  0 ， 依行列式的 Laplace 展开式定理有 D            2 4 ( 1) 3 3 5 0 ( 2) 20 . 例 1.11 计算行列式 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 D  . 解 该行列式为上三角行列式，则 1 1 0 0 0 2 0 0 1 2 3 4 24 0 0 3 0 0 0 0 4 D       . 例 1.12 计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D        . 解 将第一行各元素乘以（1 ）后，分别加到第二、三、四行的对应元素 上去，再按第一列进行展开，即 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 2 0 2 2 2 0 1 1 1 1 0 2 2 0 D                      ； 再将第一列元素乘以( 1 )后加到第三列的对应元素上，然后按第二行展开

则有0-2-22-2= -2 ×(-1)2+1-16-200D=2-2-22-213333233例1.133计算行列式D=33333334解先提出第三行的公因子3，再将第一列各元素乘以（-1)后加到第二、三、四列的对应元素上去，然后按第三行展开，即333333222113323323-100D=11003333033403334303[222]1 110= 3×(-1)3+10-1 0-1:60=6.70000101aa2a, + xasaa2a,+xa4例1.14设f(x)=其中a，a,，aj，a,为常aa, +xa,asa + xa,asay数，求方程f(x)=0的根解将第一行各元素乘以（-1）后分别加到第二、三、四行的对应元素上四行中都提出公因子x，即去，再从第二、三、/aoay+xaz3a,+xa,as00010-1x-x x3f(x)=0100x-x0-100100-1 x-xaia +a,+a,+a +xa2a0001=x3=x(a +a, +a,+a +x)=0,01001000故方程的根为x=0或x=-(a+a,+a,+a)5

5 则有 2 1 0 2 2 2 2 2 0 0 2 ( 1) 16 2 2 2 2 2 D                 . 例 1.13 计算行列式 1 3 3 3 3233 3333 3334 D  . 解 先提出第三行的公因子 3 ，再将第一列各元素乘以( 1 )后加到第二、三、 四列的对应元素上去，然后按第三行展开，即 1 3 3 3 1 3 3 3 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 1 0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 4 3 3 3 4 3 0 0 1 D     3 1 2 2 2 1 1 1 3 ( 1) 1 0 0 6 1 0 0 6 0 0 1 0 0 1         . 例 1.14 设 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) a a a a x a a a x a f x a a x a a a x a a a      ，其中 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 为常 数，求方程 f x( ) 0  的根. 解 将第一行各元素乘以（1 ）后分别加到第二、三、四行的对应元素上 去，再从第二、三、四行中都提出公因子 x ，即 1 2 3 4 1 2 3 4 3 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 a a a a x a a a a x x x f x x x x x x           1 2 3 1 2 3 4 3 3 1 2 3 4 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a a a a x x x a a a a x            ， 故方程的根为 x  0 或 1 2 3 4 x a a a a      ( )