《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第六章 参数估计（2/5）

第六章参数估计82点估计2)若总体X属连续型，其概率密度(x;0),0 E?的形式已知，θ为待估参数设x,…,x,是相应X.,,X,的一个样本值则随机点(X,.…,X,)落在(x，.,x,)的邻域(边长f(x:分别为dx,,..,dx,的n维立方体)内的概率n近似为：If(x;0)dx;x;i=1在得到观测值(xi，，xz，，x,)的前提下，自然应当选取使得f(x;0)dx,i=1达到最大的θ值作为未知参数θ的估计值

. 2) ( ; ), 的形式已知， 为待估参数 若总体 属连续型，其概率密度  X f x    设x1 ,  , xn是相应X1 ,  , Xn的一个样本值， ( ; )d 1 i n i  f xi x   i x ( ) i f x 第六章 参数估计 §2 点估计 近似为： 分别为d d 的 维立方体 内的概率 则随机点 落在 的邻域 边长 , , ) ( , , ) ( , , ) ( 1 1 1 x x n X X x x n n n      应当选取使得 在得到观测值 x1 ， x2 ， ， xn 的前提下，自然 ( ; )d 1 i n i i  f x x   达到最大的 值作为未知参数 的估计值．

第六章参数估计S2点估计因为当未知参数9等于这个值时，出现给的那个样本观测值的可能性最大但ⅡIdx,不随θ而变，故只需考虑：L(0) = L(x,..,x,;0) =I f(x;:0),i1的最大值，这里L(①)称为样本的似然函数若 L(xi,..,x,;0) = max L(xi,..,x,;0)QEO则称é(xj,.…,x,)为θ的极大似然估计值称(X,,X,)为θ的极大似然估计量

样本观测值的可能性最大 ． 因为当未知参数 等于这个值时，出现给定的那个 但 d i不随 而变，故只需考虑： i  x ( ) ( , , ; ) ( ; ), 1 1    n i n i L  L x  x  f x  的最大值，这里L( )称为样本的似然函数. 第六章 参数估计 §2 点估计 ) max ( , , ; ) ˆ ( , , ; 1  1   L x  xn L x  xn  若  ( , , ) . ˆ 则称 x1  xn 为 的极大似然估计值 ( , , ) . ˆ 称 X1  Xn 为 的极大似然估计量

第六章参数估计S2点估计一般，p(x;の),f(x;の)关于θ 可微，故 可由下式求得dL(①)—0-----似然方程de又因L(O)与In L()在同一处取到极值，因此的极大似然估计也可从下述方程解得：dInL(O)= O -----对数似然方程de若总体的分布中包含多个参数，aL即可令= 0,i=1,·,k-----似然方程组a0;

一般，p(x; ), f (x; )关于 可微，故 可由下式求得： 0 d d ( )   L  大似然估计 也可从下述方程解得： 又 因 与 在同一 处取到极值，因此 的 极  L( ) ln L( )   ln ( ) 0 d d    L -对数似然方程 -似然方程 第六章 参数估计 §2 点估计 若总体的分布中包含多个参数， i k L i  0,  1,,    即可令 -似然方程组

第六章参数估计S2点估计aln L或-对数似然方程组= 0,i=1,...,k00解k个方程组求得e,..,e,的极大似然估计值即可得①，,①,的极大似然估计量一般来讲，极大似然估计优于矩估计，因而在应用中，我们应当尽可能地使用极大似然估计

, , . 解k个方程组求得1   k 的极大似然估计值 , , . 即可得1   k 的极大似然估计量 应用中，我们应当尽可 能地使用极大似然估计 ． 一般来讲，极大似然估 计优于矩估计，因而在 i k L i 0, 1, , ln       或 -对数似然方程组 第六章 参数估计 §2 点估计