令解设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件 显然,P(A)=2/10,下面求P(B) 令因为B只有当A发生或4发生时才能发生,即 Bc4+4°, 所以 B=B(A+A=BA+ BAC 因 A与Ac 令互不相容,故 BA与BAe 也互不相容
21 ❖ 解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. ❖ 显然，P(A)= 2/10，下面求P(B). ❖ 因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即 BA+Ac ， ❖ 所以 B=B(A+Ac )=BA+BAc. ❖ 因 A与Ac ❖ 互不相容，故 BA与BAc ❖ 也互不相容
令由概率加法公式和乘法定理得 P(B)=P(BA)+P(BA) P(AP(B A+P(AP(B A 218221 109109105 令此结果说明,抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无 关,它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介 绍
22 ❖ 由概率加法公式和乘法定理得 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) P A P B A P A P B A P B P BA P BA = + = + 5 1 10 2 9 2 10 8 9 1 10 2 = + = = ❖ 此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无 关，它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介 绍
8例1求)的过程看:关键是和用互不相的班 后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B) 令一般有下面的定理 定理2.4(全概率公式)设A1,A2,…,A是互不相容 的事件,且P(A1)>0(i=1,2,…,n),若对任一事件B, 有A1+A2+…+A→B,则 P(B)=∑P(A)P(B|A)
23 ❖ 从例1求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事 件A与Ac ，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然 后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B). ❖ 一般有下面的定理. ❖ 定理2.4 (全概率公式)设A1,A2,…,An是互不相容 的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B， 有A1+A2+…+AnB，则 = = n i P B P Ai P B Ai 1 ( ) ( ) ( | )
证因41+A2+…+AnB,故 B=B(A1+A2+. +An=BA1+ BA2+... +BA 冷由于A1,A2…,An互不相容,故BA1,BA2,…,BAn也 互不相容 令由概率加法公式和乘法定理得 P(B)=P(BA+P(BA,)+.+ P(BAn) =P(A1)P(BA1)+P(A2)P(B|42) +…+P(An)P(B|An) =∑P(A)P(B|A) 24
24 ❖ 证 因A1+A2+…+AnB，故 B=B(A1+A2+…+An )=BA1+ BA2+…+BAn. ❖ 由于A1,A2,…,An互不相容，故BA1,BA2,…,BAn也 互不相容. ❖ 由概率加法公式和乘法定理得 ( ) ( ) ( ) ( ) P B = P BA1 + P BA2 ++ P BAn ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 1 1 2 2 P An P B An P A P B A P A P B A + + = + = = n i P Ai P B Ai 1 ( ) ( | )
令例2一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品,每个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%, 而产品中的次品率分别为5%,4%,2%.今将这些产品 混在一起,并随机地抽取一个产品,问它是次品的 概率为多少? 解设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品:事件B表示抽到的一个产品是 次 冷由于BCA1+A2+43,且41A2,A3互不相容,故由全 概率公式 PB)=∑P(4)P(B|A)
25 ❖ 例2 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%， 而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品 混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的 概率为多少？ ❖ 解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品. ❖ 由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全 概率公式 = = 3 1 ( ) ( ) ( | ) i P B P Ai P B Ai