令又因 25 35 P(A1) ,P(A2) P(A)40 100° 100° 100 5 2 P(B|A1)=,,P(B|A2)= 100 1D0P(B|A3)= 100 令故 255354402 P(B) 100100100100100100 =0.0345
26 ❖ 又因 100 40 , ( ) 100 35 , ( ) 100 25 ( ) P A1 = P A 2 = P A 3 = 1002 , ( | ) 1004 , ( | ) 1005 ( | ) P B A1 = P B A 2 = P B A 3 = ❖ 故 0.0345 1002 100 40 1004 100 35 1005 100 25 ( ) = P B = + +
第二章条件概率与独立性 2.3贝叶斯( Bayes)公式 仍从例子(2.2例2)讲起 令例1一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品,每个车间的产量分别占总产量的25%,35%,4% 而产品中的次品率分别为5%,4%,2%.今将这些产品 混在一起,并随机地抽取一个产品,问它是次品的 概率为多少?若抽到的一件产品是次品,试问这件 次品是甲、乙、丙车间生产的概率各为多少?又哪 个概率最大? 27
27 第二章 条件概率与独立性 ❖ 2.3 贝叶斯(Bayes)公式 ❖ 仍从例子(2.2例2)讲起. ❖ 例1 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%， 而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品 混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的 概率为多少？若抽到的一件产品是次品，试问这件 次品是甲、乙、丙车间生产的概率各为多少？又哪 一个概率最大？
令解设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品;事件B表示抽到的一个产品是 次品,则问题即为求P(A1B),P(A21B),P(43B) 由条件概率的定义,并利用乘法定理和全概率公式 得 P(AB) P(AP(B A) P(A,B- P(B)2P(A)P(B(4) 255 100 100≈0.362 0.0345
28 ❖ 解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品，则问题即为求P(A1 |B)，P(A2 |B)，P(A3 |B). ❖ 由条件概率的定义，并利用乘法定理和全概率公式 得 0.362 0.0345 100 5 100 25 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 3 1 1 1 1 1 = = = i= P Ai P B Ai P A P B A P B P A B P A B
同理可得 P(A2B)≈0.406,P(A3|B)≈0.232 令由此可知,抽出的次品是乙车间生产的概率最大 在本例中,若将A1(=1,2,3)看成是引起B发生的 “原因”,那么此例的问题可以这样提出: 冷若在实验中B发生了,问引起B发生的原因是4 (i=1,2,3)的概率是多少? 又哪一个原因发生的可能性最大? 29
29 ❖ 同理可得 P(A2 | B) 0.406,P(A3 | B) 0.232 ❖ 由此可知，抽出的次品是乙车间生产的概率最大. ❖ 在本例中，若将Ai(i=1,2,3)看成是引起B发生的 “原因”，那么此例的问题可以这样提出： ❖ 若在实验中B发生了，问引起B发生的原因是Ai (i=1,2,3)的概率是多少？ ❖ 又哪一个原因发生的可能性最大？
类似的问题是很多的 令例如,在诊病问题中,已知出现某种症状有多种原 因,假如在一次诊病中出现了这种症状,就需要研 究引起这种症状的各种病因的概率是多少? 哪一种病因的概率最大? 解决这样的问题的方法,就是如下的贝叶斯( Bayes formula)公式 30
30 ❖ 类似的问题是很多的. ❖ 例如，在诊病问题中，已知出现某种症状有多种原 因，假如在一次诊病中出现了这种症状，就需要研 究引起这种症状的各种病因的概率是多少？ ❖ 哪一种病因的概率最大？ ❖ 解决这样的问题的方法，就是如下的贝叶斯(Bayes formula)公式