由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理, 所以由这些公理推得的一切结果对于条件概率同样 成立 推论1P(|B)=0 推论2设A1,A2,…,A,是互不相容的事件,则 P{(1+A2+,+An+…)|B} P(AilB)+P(A2B)+. +P(AnIB) 推论30≤P(|B)≤1 令由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率 性质都适用于条件概率 11
11 ❖ 由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理， 所以由这些公理推得的一切结果对于条件概率同样 成立. ❖ 即 推论1 P(Φ|B)=0. 推论2 设A1,A2,…,An是互不相容的事件，则 P {(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1 |B)+P(A2 |B)+…+P(An |B). 推论3 0≤P(A|B)≤1. ❖ 由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率 性质都适用于条件概率
即(i)对任一事件A,有0≤P(4|B)≤1 (i)P(SB=1; 冷(ⅲ)若事件A1,A2,…,An是互不相容的,则 P{(41+A2+,+An+…)|B =P(A1|B)+P(2|B)+…+P(4B) s(iv)P(AB)=1-P(AB) 冷(V)P(①|B)=0 冷(ⅵ)若AcC,则P(A|B)≤P(C|B),且 PI(C-AIB3=P(CB)-P(AB) (ⅶi)(一般概率的加法公式)对任二事件A、C有 P(AUCB)=P(AB)+P(CB)-P(ACIB) 12
12 ❖ 即(ⅰ)对任一事件A，有0≤P(A|B)≤1； ❖ (ⅱ)P(S|B)=1； ❖ (ⅲ)若事件A1,A2,…,An是互不相容的，则 P {(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1 |B)+P(A2 |B)+…+P(An |B). ❖ (ⅳ)P(Ac |B)=1−P(A|B). ❖ (ⅴ)P(Φ|B)=0. ❖ (ⅵ)若AC，则P(A|B)≤P(C|B)，且 P {(C−A)|B}=P(C|B)−P(A|B). ❖ (ⅶ)(一般概率的加法公式)对任二事件A、C有 P(A∪C|B)=P(A|B)+P(C|B)−P(AC|B)
由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(AB), P(B)>0 类似地有 P(AB)=P(A)P(B4),P(4)>0 令这就是所谓的概率乘法公式,这个结论可以写成下 面的定理 令定理2.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中 个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的 条件概率的乘积,即 P(AB)=P(A)P(BA=P(B)P(AB) 13
13 ❖ 由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0. ❖ 类似地有 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0. ❖ 这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下 面的定理. ❖ 定理2.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一 个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的 条件概率的乘积，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
乘法定理很容易推广到个事件上去 定理2.3设A1,A2,…,An为n个事件,n≥2,且 P(4142,An1)>0,则有 P(A14 1442 n P(A1)P(4241)P(431A2)…P(AnlA142…,n) 即 P(A142…An)=P(A)P(2|A)P(43|A1A2 P(An|A1A2…A21) 14
14 ❖ 乘法定理很容易推广到个事件上去. ❖ 定理2.3设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2，且 P(A1A2…An-1)>0，则有 ❖ P(A1A2…An) =P(A1)P(A2 |A1)P(A3 |A1 A2)…P(An | A1A2…An-1). ❖ 即 ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 − = n n n P A A A A P A A A P A P A A P A A A
证由于 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A )>0 故 P(A1)P(A2|A1)P(A43|A1A2)…P(An|A14…An1) =P(A) P(AA2)P(AA2 A) P(AA2.A P(A P(AA2) P(AA2.An-D) P(A1A2…An) 15
15 ❖ 证 由于 P(A1 ) P(A1 A2 ) P(A1 A2 An−1 ) 0 ❖ 故 ( ) ( | ) ( | ) ( | ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An−1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 − = n n P A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P A ( ) = P A1 A2 An