令而式子 P(AB)=P(AB)/P(B)(P(B)>0 即 P(b)(AB)(P(B)>0) P(B) 今注意式子 P(AB)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 令的成立不是偶然的,是普遍规律,下面就古典概率 的情况证明之
6 ❖ 而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) ❖ 即 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( | ) = P B P B P AB P A B ❖ 注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) ❖ 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明之
设样本空间S={1,2,…,e,其中导致A,B和AB 发生的基本事件分别为m,k,r个(r≤m,r≤k) 令如果B发生,则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现,在这个条件下导致4发生的基本事件仅有r个 故 P(A B)=7= r/n P(AB) kk/n P(B 同理可证 P(BA= P(AB) P(A) (P(A)>0)
7 ❖ 设样本空间S={e1,e2,…,en }，其中导致A，B和AB 发生的基本事件分别为m ，k ，r个(r≤m，r≤k). ❖ 如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个. ❖ 故 ( ) ( ) / / ( | ) P B P AB k n r n k r P A B = = = ❖ 同理可证 ( ( ) 0) ( ) ( ) ( | ) = P A P A P AB P B A
但是,这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来,下面就将它作为条件概率的定义, 叙述如下: 定义2.1设A和B为任意两个事件,且P(B)>0,则 称比值 P(AB/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率,记作 P(AB)=P(AB)/P(B) 即 P(A B= P(AB) P(B)
8 ❖ 但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下： ❖ 定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B) ❖ 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B). ❖ 即 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B =
定理2.1条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3 冷证明(i)P(|B)=P(AB)/P(B)≥0 (i1)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)P(B)=1. 冷(i)设事件A1,A 2 n 是互不相容的,则 A1B,A2B,……,AnB, 令也互不相容. 令因此 P{(A1+A2+.+An+,)B} P(A1|B)+P(A2|B)+,+P(An|B)+ ● 令这就证明了条件概率的完全可加性. 9
9 ❖ 定理2.1 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3. ❖ 证明 (ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0. ❖ (ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1. ❖ (ⅲ)设事件A1,A2,…,An ,…是互不相容的，则 A1B,A2B,…,AnB,… ❖ 也互不相容. ❖ 因此 P{(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1 |B)+P(A2 |B)+…+P(An |B)+…. ❖ 这就证明了条件概率的完全可加性
P(4+2+…+4+…)|B P{(A1+A2+…+An+…)B} P(B) P(A1B+A2B+…+AnB+…) P(B) P( B)+P(A,B)+.+P(A, B)+ P(B) =P(A|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+ 令这就证明了条件概率的完全可加性 10
10 ( ) {( ) } {( ) | } 1 2 1 2 P B P A A A B P A A A Bn n + + + + =+ + + + ( ) ( ) 1 2 P B P A B + A B + + A n B + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 P B P A B + P A B + + P A n B + == P(A1 | B) + P(A 2 | B) + + P(A n | B) + ❖ 这就证明了条件概率的完全可加性