(3)Va∈L有 aVa=a,a∧a=a. 证明：显然a≤aVa, 又由a≤a可得aVa≤a. 根据偏序的反对称性有 aVa =a 同理可证a∧a=a
(3)a∈L有 a∨a＝a, a∧a＝a. 证明: 显然a≤a∨a, 又由a≤a可得a∨a≤a. 根据偏序的反对称性有 a∨a＝a 同理可证a∧a＝a
(4)廿a,b∈L,有 aV(a∧b)=a,a∧(aVb)=a. 证明：aV(a∧b)≥a 又由a≤a,a∧b≤a所以，有 aV(a∧b)≤a. 由这两个式子可得 aV(a∧b)=a. 同理可证 a∧(aVb)=a
(4) a,b∈L,有 a∨(a∧b)＝a, a∧(a∨b)＝a. 证明: a∨(a∧b)≥a 又由a≤a, a∧b≤a 所以,有 a∨(a∧b)≤a. 由这两个式子可得 a∨(a∧b)＝a. 同理可证 a∧(a∨b)＝a
·格的另一个等价的定义. 定义设<X,*,>是具有两个二元运算的代数 系统，且对于*和°运算适合交换律、结合律、 吸收律，则可以适当定义X中的偏序≤使得 <X,≤>构成一个格，且Va,b∈X a个b=a*b, a Vb=ab
• 格的另一个等价的定义. 定义 设<X,*,>是具有两个二元运算的代数 系统,且对于*和运算适合交换律、结合律、 吸收律,则可以适当定义X中的偏序≤使得 <X,≤>构成一个格,且 a,b∈X a∧b=a*b, a∨b=ab
定理13.2 设X,个>是代数系统，其中V,人都/ 满是交换律、结合律和吸收建， 当定义X的偏序关系≤，使<X,≤>构成一个格。 证明：如定义X上的一个二元关系 ≤=<a,b>la,beX且a个b=aY
定理13.2 设X,∨,∧是代数系统，其中∨,∧都是 二元运算，满足交换律、结合律和吸收律，则可适 当定义X的偏序关系≼，使X,≼构成一个格。 证明：如定义X上的一个二元关系 ≼=a,b|a,bX且a∧b=a
()先证如果V和个满足吸收律，则V和∧满足幂等律。 证明：aV=V(a个(aVb)=,同理可证a入∧=a (2)证明≤是X上的偏序关系。 由(1)知个满足幂等律，即a个=a,所以a≤a。故≤是 自反的。 设a≤b且b≤a,则a个b=a且b个=b,于是=a个b=b∧a =b。所以≤是反对称的。 设a≤b且b≤c,则a∧b=a且b个c=b,于是a个c=(a个b)个c )=a∧b=a,即a≤c,故≤是传递的。 这就证明了≤是X上的偏序关系
(1)先证如果∨和∧满足吸收律，则∨和∧满足幂等律。 证明：a∨a=a∨(a∧(a∨b))=a，同理可证a∧a=a (2) 证明≼是X上的偏序关系。 由（1）知∧满足幂等律，即a∧a=a，所以a≼a。故≼是 自反的。 设a≼b且b≼a，则a∧b=a且b∧a=b，于是a=a∧b=b∧a =b。所以≼是反对称的。 设a≼b且b≼c，则a∧b=a且b∧c=b，于是a∧c=(a∧b)∧c =a∧(b∧c)=a∧b=a，即a≼c，故≼是传递的。 这就证明了≼是X上的偏序关系