二型线面积分复习 一、二型曲线积分 要求掌握： ()引入定义的实际例子：Vrd.Td=(cosa,cos月，cos)l=(d,d,d) v:rd=厂Pt+Q+Ra (②)二型曲线积分的计算方法： (1基本方法：当曲线给出参数方程，化为定积分时，注意积分上下限， 及积分变量满足曲线的方程 2.公式：Green公式：Stokes公式.在使用公式时一定要注意定理的条件. 、3.积分与路径无关（求待定函数：重选路径计算二型曲线积分.） (③)用二型曲线积分计算平面封闭曲线所围成区域的面积 5=人=-人d=厂动-yt,的方向为逆时针. 1.(17)(18分)(1)计算（红+2r)dr+2+2z+y2)dy,其中L是x2+2=4r的上 半圆由A(4,0)至B(0,0) (②)设（红，y在单位圆盘D:r2+了≤1上有二阶连续偏导数，且满足：十 器=，求积分人n祭 包含原点的封衔是时针苗设+0可，A,C4C-B产>0其中工为二维区续 2.(1612分)计算（座 3.(16)(12分)求积分xzdy-yzd在，其中L为上半圆x2+y2+z2=1与x2+y2=x的 交线，从轴正方向看为逆时针 4.(15)(7分)设a,6R为已知常数，且R>0,计算曲线积分(-ay)r+(a)山，其中 积分曲线C是圆周x2+2=,沿逆时针方向
· 1 · .Ç°»©ES ò!.Ç»© ᶛºµ (1) ⁄\½¬¢S~f; Z L V · τ dl. τ dl = (cos α, cos β, cos γ)dl = (dx, dy, dz) Z L V · τ dl = Z L P dx + Qdy + Rdz. (2) .Ç»©Oéê{: 1.ƒ ê{:Çâ—ÎÍêß,zè½»©û,5ø»©˛eÅ, 9»©C˛˜vÇêß. 2.˙™µGreen˙™; Stokes˙™.3¶^˙™ûò½á5ø½n^á. 3.»©Ü¥ªÃ'(¶ñ½ºÍ¶¿¥ªOé.Ç»©.) (3) ^.Ç»©Oé²°µ4ǧ姴簻. S = Z L xdy = − Z L ydx = 1 2 Z L xdy − ydx, Lêïè_û. . 1. (17)(18©) (1) Oé Z L (x + 2xy)dx + (x 2 + 2x + y 2 )dy,Ÿ•L¥x 2 + y 2 = 4x˛ å dA(4, 0)ñB(0, 0). (2) u(x, y)3¸† D : x 2 + y 2 ≤ 1˛k ÎY†Í,Ö˜v ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = e −x 2−y 2 , ¶»© Z ∂D ∂u ∂ −→n ds. 2. (16)(12©) Oé Z L xdy − ydx Ax2 + 2Bxy + Cy2 , (A, C, AC − B 2 > 0)Ÿ•Lèë´ç ù¹:µ4_ûÇ. 3. (16)(12©) ¶»© Z L xzdy−yzdx,Ÿ•Lè˛å x 2+y 2+z 2 = 1Üx 2+y 2 = x Çßlz¶êïwè_û. 4. (15)(7©) a, b, RèÆ~Í,ÖR > 0,OéÇ»© I C (−ay)dx+ (bx)dy,Ÿ• »©ÇC¥ ±x 2 + y 2 = R2 ,˜_ûêï.
2 5.(15)8分)计算曲线积分(y2-22)dr+(2z2-r2)dy+(3x2-y2)z,其中曲 线C是平面x+y+z=2与柱面四+以=1的交线，从轴正向来看，C沿逆时针 方向。 心0分)设函数具有连续的导数，在任意不绕原点且不过原点的 滑闭曲线L上，曲线积分2 x+2 ()求函数(： (四设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线求到+9山 x4+2 7.(13)8分)设f红，gc,)在单位圆盘U={红，)：x2+2≤1上有一阶连续 偏导数，且=器证明在单位圆周上存在一点（飞，小，使得代，加=9， 8.(12)(8分)g-z)+(e-x)d画+（任-）d,其中L是球面r2+y2+z2=a2(a> 0),和平面正+y+z=0的交线L的方向与轴正向成右手系 解：解法一：用S表示L在平面x+y十z=0上围出的那块圆盘面。由L的定向， 圆盘面的单位法向为平面的外法向，即有1,1，)， (4分 根据Stokes公式，我们有 ，g-恤+e-x+(e-d -vs (4分) 解法二：本题也可以利用确定出交线的参数方程，直接进行计算。因方法 较多，不再具体给出。 9.(12)(8分)设D是简单光滑闭曲线围成的平面闭区域设（红，）在D内有二阶连续 偏导数且+=0 证明山4=0，其中是D内沿简单光滑闭曲线L止单位外法线方向上 的方向导数 (②)若当（红，）∈8D时，u(红，)=A(A为常数)，证明u(红，)=A,(红，)∈D
· 2 · 5. (15)(8©) OéÇ»© Z C (y 2 − z 2 )dx + (2z 2 − x 2 )dy + (3x 2 − y 2 )dz,Ÿ• ÇC¥²°x + y + z = 2ÜŒ°|x| + |y| = 1Ç,lz¶ï5w,C˜_û êï. 6. (14)(10©) ºÍϕ(x)‰kÎYÍ, 3?øÿ7:ÖÿL:{¸1 w4ÇL˛, Ç»© I L 2xy dx + ϕ(x) dy x 4 + y 2 = 0 . (1) ¶ºÍϕ(x); (2) C¥å7:1w{¸ï4Ç, ¶ I C 2xy dx + ϕ(x) dy x 4 + y 2 . 7. (13)(8©) f(x, y), g(x, y)3¸† U = {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ 1}˛kò ÎY †Í,Ö ∂f ∂y = ∂g ∂x,y²3¸† ±˛3ò:(ξ, η),¶f(ξ, η)η = g(ξ, η)ξ. 8. (12)(8©) Z L (y −z)dx+ (z −x)dy + (x−y)dz,Ÿ•L¥•°x 2 +y 2 +z 2 = a 2 (a > 0),⁄²°x + y + z = 0Ç,LêïÜz¶ï§mÃX. ):){òµ^SL´L3²°x + y + z = 0˛å—@¨ °"dL½ïß °¸†{ïè²° {ïß= 1 √ 3 (1, 1, 1). (4 ©) ä‚Stokes˙™ß·Çk Z L (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz = ZZ S+ ( −2 √ 3 + −2 √ 3 + −2 √ 3 )dS = ZZ S+ −2 √ 3dS = −2 √ 3πa2 . (4©) ){µ Kèå±|^(½—ÇÎÍêßßÜ?1Oé"œê{ ıßÿ2‰Nâ—" 9. (12)(8©)D¥{¸1w4Ç姲°4´ç,u(x, y)3DSk ÎY †Í,Ö ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0. y²(1) I L ∂u ∂n ds = 0,Ÿ• ∂u ∂n ¥DS˜{¸1w4ÇL˛¸† {Çêï˛ êïÍ. (2) e(x, y) ∈ ∂Dû,u(x, y) = A(Aè~Í),y²:u(x, y) ≡ A,(x, y) ∈ D.
3. 10.(10分)D证明曲线积分-y+-+(-与路径 无关 2)求 11.(11)12分)设曲线L是以(L,0)为中心，R为半径的圆周(R>),取逆时针方向， 计算积分+ 12.(1(7分)设V红，=P(红，i+Q(红，j在开区域D内处处连续可微，在D内任 圆周L上，有V.l=0,其中a是圆周外法线单位向量，试证在D内恒有汇十 9 13.(10(10分)设函数p()在(-，+∞)上有连续的导数，对任 的值 原点且不 经过原点的逐段光滑的简单正向闭曲线叶，曲线积分人2十W 相同 证班投公是条不用笑层点且不移过原点的蓬段光清的简单正肉皮 (回)求函数(. 广四，设S陆是围绕原点且不经过原点的逐段光滑的简单正向闭曲线求 14国分设L为调调自线产护产R>0远时针方向则人-一 15.(09)(4分)设曲线积分(f()-e2)sin-f()cosd与路径无关，其中f)具 有一阶连续导数，且=0，则f()=() (+-1倒1+o"2o 2 2 16.(06分)y证+yp(山与路径无关，其中p()具有连续的一阶导数且(0) a期a+re尚的值) (A)0(B)月 (C)(D)1
· 3 · 10. (11)(10©) 1§y²Ç»© Z L (x 2 − yz)dx + (y 2 − zx)dy + (z 2 − xy)dzÜ¥ª Ã' 2§¶ Z (1,1,1) (0,0,0) (x 2 − yz)dx + (y 2 − zx)dy + (z 2 − xy)dz 11. (11)(12©)ÇL¥±(1, 0)è•%,Rèåª ±(R > 1)ß_ûêï, O黩 I L −ydx + xdy 4x 2 + y 2 . 12. (11)(7©)V(x, y) = P(x, y)i+Q(x, y)j3m´çDS??ÎYåá,3DS?ò ±L˛,k I L V · ndl = 0,Ÿ•n¥ ± {Ǹ†ï˛,£y3DSðk ∂P ∂x + ∂Q ∂y = 0. 13. (10)(10©) ºÍ ϕ(x) 3 (−∞, +∞) ˛kÎYÍ, È?òå7:Öÿ ²L:Å„1w{¸ï4Ç C +, Ç»© Z c+ ydx + ϕ(x)dy x 2 + 4y 2 ä É”. (i) C + ¥ò^ÿå7:Öÿ²L:Å„1w{¸ï4Ç, y²: Z c+ ydx + ϕ(x)dy x 2 + 4y 2 = 0. (ii) ¶ºÍ ϕ(x). (iii) C Z + ¥å7:Öÿ²L:Å„1w{¸ï4Ƕ c+ ydx + ϕ(x)dy x 2 + 4y 2 . 14. (09)(4©) Lè ±Çx 2+y 2 = R2 (R > 0)_ûêï,K Z L −ydx + xdy x 2 + y 2 = 15. (09)(4©) Ç»© Z L (f(x)−e x ) sin ydx−f(x) cos ydyÜ¥ªÃ',Ÿ•f(x)‰ kò ÎYÍ,Öf(0) = 0,Kf(x) = ( ) (A) e x + e −x 2 −1 (B) 1− e x + e −x 2 (C) e −x − e x 2 (D) e x − e −x 2 16. (08)(5©) Z L xy2 dx+yϕ(x)dyÜ¥ªÃ',Ÿ•ϕ(x)‰kÎYò Í,Öϕ(0) = 0,K Z (1,1) (0,0) xy2 dx + yϕ(x)dyäè( ) (A) 0 (B) 1 4 (C) 1 2 (D) 1
·4 17(010分)设L为抛物线2：=y自@.0到（写）的段.计算积分1=/2y- ycos)dr+(1-2ysinr+3x2y2)dy. 18.(07)(4分)设D是由严中一条光滑的，Jordon曲线L围成的区域，则D的面积（可有 多项选择). (A)ydr (B)rdu (C)dzdu D)厂-t 10.(078分)设L为圆周2+P=1,按逆时针方向求曲线积分人十之 20.(07)(7分)已知fx)是正值连续函数，曲线L:(任-1)2+(g-1)2=1取逆时针方 向证明高+≥如. 21.(06)(4分)L:x2+=1逆时针方向，则(3ax2y-+x3d=, 2.(05)(8分)设L是中圆周{x2+y2=a2,2=号)，取逆时针方向（从：轴正向 看)求人++ 2（06分来曲线积分 ,其中L为椭圆4r2+2=a2(a>0),反时针方向. (句心其中L为：2+=1反时针方向， 24.(03(14分)求-3x2ydr+32+)g+32d,其中L是球面r2+2+z2-1与 圆锥面2=√2+平的交线，从原点看去顺时针方向。 25.(02)(12分)设曲线积分p()cosrd-(()-)sinrdy=0,其中o()有连续 二阶导数，L为平面上任意一条封闭曲线若(0)=0)=1，求(.（回）L取 抛物线)=2上从0,0)到（爱孕）的一段求上述曲线积分的值 二、二型曲面积分 要求掌握： ()引入定义的实际例子v.nds,nds=(cosa,cos,cos)dS=(dyd,ded血，ddg) vns=厂P+Q+th
· 4 · 17. (08)(10©) Lè‘Ç2x = πy2g(0, 0)( π 2 , 1)l„,O黩I = Z L (2xy3− y 2 cos x)dx + (1 − 2y sin x + 3x 2 y 2 )dy. 18. (07)(4©) D¥dR2•ò^1wJordonÇL姴ç,KD°»(åk ıë¿J). (A) Z L ydx (B) Z L xdy (C) ZZ D dxdy (D) 1 2 Z L xdy − ydx. 19. (07)(8©) Lè ±x 2 + y 2 = 1,U_ûêï,¶Ç»© Z L −ydx + xdy x 2 + 2y 2 . 20. (07)(7©) Æf(x)¥äÎYºÍ,ÇL : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1_ûê ï,y² Z L − y f(x) dx + xf(y)dy > 2π. 21. (06)(4©) L : x 2 + y 2 = 1_ûêï,K I L (3x 2 y − y)dx + x 3 dy =. 22. (05)(8©) L¥R3• ±{x 2 + y 2 = a 2 , z = a 2 },_ûêï(lz¶ï w),¶ Z L xdy + y 2 dz + z 3 dx. 23. (04)(16©) ¶Ç»© (i) Z L −ydx + xdy 4x 2 + y 2 ,Ÿ•Lè˝ 4x 2 + y 2 = a 2 (a > 0),áûêï. (ii) Z L −ydx + xdy 4x 2 + y 2 ,Ÿ•Lèx 2 + y 2 = 1,áûêï. 24. (03)(14©) ¶ Z L −3x 2 ydx+(3xy2+z 3 )dy+3yz2 dz,Ÿ•L¥•°x 2+y 2+z 2 = 1Ü I°z = p x 2 + y 2Ç,l:w^ûêï. 25. (02)(12©) Ç»© Z L ϕ 0 (y) cos xdx−(ϕ(y)−y) sin xdy = 0,Ÿ•ϕ(y)kÎY Í,Lè²°˛?øò^µ4Ç(i) eϕ(0) = ϕ 0 (0) = 1,¶ϕ(y).(ii) L ‘Çy = 4 π x 2˛l(0, 0)( π 4 , π 4 )ò„,¶˛„Ç»©ä. !.°»© ᶛºµ (1) ⁄\½¬¢S~f ZZ S v.nds, nds = (cos α, cos β, cos γ)dS = (dydz, dzdx, dxdy) ZZ S v.nds = ZZ S P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy
5 (2)曲面的方程形式：参数式（向经式）：隐函数方程F(x,头，)=0，显示方程：=(x,) (③)二型曲面积分的计算方法： P Q R 1基本方法一化为二重积分：广vns=e川ad,(e=士 B rr yz -c-P(z.v.f(z.)f.-Q(z.u.f(c.mf+R(z.y.f(z.Mldrdy 2.公式：Ga4s公式（注意定理的条件，加辅助曲面使用Gauss公式）： 3注意对称性. 1.(16)12分)求曲面积分广（-y+dyz+g-z+x)dzdr+(e-x+)drdy,其 中S为曲面-y+刘+g-2++2-x+=1的外侧. 2.(16(12分)计算广xa2ddz+(e2y-2)ddr+(2ry+y2)drdw,其中Σ是上半 球面：=√2-2-乎的外侧 3.(57分)计算曲面积分厂rdud:+yd:+：drdy,其中曲面是由上半球 面2=V-工2一了以及y平面围成的立体的全表面的外侧 4(58分)计算鱼面积分广+t+t迪，其中2是曲面22+2y+ （2+y2+2) 2=4的外侧 5.(14)(0分)广x2ad+(3+z+1)drdy,其中是上半球面r2+2+2=1 (2≥0)，法线方向朝上 6.(13)12分)计算曲面积分2r3dyd+2y3dzd+3(2-1)ddy,其中S+为曲 面：=V2+乎0≤：≤1)的下侧 7.(12)(10分)计算曲面积分(c+y)dd+(g+dd+(e+1drdg,其中sS+为 上半球面x2+2+22=严(z≥0，R>0)的上侧
· 5 · (2) °êß/™:ÎÍ™(ï²™);¤ºÍêßF(x, y, z) = 0,w´êßz = f(x, y) (3) .°»©Oéê{: 1.ƒ ê{—–z軩: ZZ S v · nds = ε ZZ Duv P Q R x 0 u y 0 u z 0 u x 0 v y 0 v z 0 v dudv,( ε = ±1) = ε ZZ Dxy [−P(x, y, f(x, y))f 0 x − Q(x, y, f(x, y))f 0 y + R(x, y, f(x, y)]dxdy 2.˙™ : Gauss˙™(5ø½n^á,\9œ°¶^Gauss˙™); 3.5øÈ°5. . 1. (16)(12©) ¶°»© ZZ S (x−y +z)dydz + (y −z +x)dzdx+ (z −x+y)dxdy,Ÿ •Sè°|x − y + z| + |y − z + x| + |z − x + y| = 1 ˝. 2. (16)(12©) Oé ZZ Σ xz2dydz + (x 2 y − z 3 )dzdx + (2xy + y 2 z)dxdy,Ÿ•Σ¥˛å •°z = p a 2 − x 2 − y 2 ˝. 3. (15)(7©) Oé°»© ZZ Σ x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy,Ÿ•°Σ¥d˛å• °z = p 1 − x 2 − y 2±9xoy²°å§·N L° ˝. 4. (15)(8©) Oé°»© ZZ Σ xdydz + ydzdx + zdxdy (x 2 + y 2 + z 2) 3 2 ,Ÿ•Σ¥°2x 2 + 2y 2 + z 2 = 4 ˝. 5. (14) (10©) ZZ Σ x 2dydz + (y 3 + z + 1)dxdy, Ÿ•Σ ¥˛å•°x 2 + y 2 + z 2 = 1 (z > 0), {Çêïä˛. 6. (13)(12©) Oé°»© ZZ S+ 2x 3dydz + 2y 3dzdx + 3(z 2 − 1)dxdy,Ÿ•S +è °z = p x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1)e˝. 7. (12)(10©)Oé°»© ZZ S+ (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + 1)dxdy, Ÿ•S +è ˛å•°x 2 + y 2 + z 2 = R2 (z > 0, R > 0)˛˝