1 第4章定积分习题课 一、求定积分 (1)定积分的计算方法： (1.定积分的换元法， 2.定积分的分部积分法 3.关于区域的对称性及被积函数的奇偶性：关于周期性 4.分段函数 (2)常用变量代换 L「a地芒厂o-a 2e地- 4.倒代换 5.三角代换、双曲代换 1(0)2分)计算定积分1=(1+-）+4 2(16)6分 xsin(x） 61+cos阿 3.(15)(5分) x sin2 rdr. 4(1)6分)-x2e a间6别a>o, 1 6.(14)(8分) sinxcosr :dr. Jo 1+Vtanz a6e在 1 &(6分例。1+V血
· 1 · 1 4 Ÿ ½»©SKë ò!¶½»© (1) ½»©Oéê{: 1.½»©Ü{, 2.½»©©‹»©{, 3.'u´çÈ°59»ºÍ¤Û5;'u±œ5, 4.©„ºÍ (2) ~^C˛ìÜ 1. Z a 0 f(x)dx x=a−t == Z a 0 f(a − t)dt 2. Z 0 −a f(x)dx x=−t == Z a 0 f(−t)dt 3. Z π 0 xf(sin x)dx x=π−t == π 2 Z π 0 f(sin t)dt = π Z π 2 0 f(sin t)dt. 4. ìÜ 5. nìÜ!VìÜ 1. (17) (12©)Oé½»©I = Z 2 1 2 1 + x − 1 x e x+ 1 x dx. 2. (16) (6©) Z π 0 x sin(x) 1 + cos2(x) dx. 3. (15) (5©) Z π 2 0 x sin2 xdx. 4. (15) (5©) Z 1 0 (1 − x) 2 e x (1 + x 2) 2 dx. 5. (15) (5©) Z 1 −1 1 a x + 1 dx (a > 0). 6. (14) (8©) Z π 2 0 sin x cos x 1 + √ tan x dx. 7. (14) (6©) Z 4 0 e √ x dx. 8. (13) (6©) Z 4 0 1 1 + √ x dx.
2 9.(13)(10分)计算定积分1= (wa(ya）a 10.a26分人产aroin a6列vmar aa四分r>谢=2求fe恤 14a四分)设aec,且f0as小业=2求产f0os恤 15.ao6分求2-恤 16.(o4分)求smrt 四纷g- 四u分e 19.(0网)a分)求mim(白在 20.08)(分)设回{1-1<<0求厂f-2. x20 2江.om6分求[（-++) sinr
· 2 · 9. (13) (10©)Oé½»©I = Z 1 0 Z 1 x arctan(t 2 )dt dx. 10. (12) (5©) Z 1 0 x 2 arcsin xdx 11. (12) (5©) Z 1 0 1 + 3x (x 2 + 1)(x + 1)dx 12. (12) (5©) Z 2π 0 p | cos x|sin5 xdx 13. (11) (8©)x > 0û,f(ln x) = 1 √ x ,¶ Z 2 −2 xf0 (x)dx. 14. (11) (8©)f(x) ∈ C[0, 1],Ö Z π 2 0 f(| cos x|)dx = 2,¶ Z 2π 0 f(| cos x|)dx. 15. (10) (5©)¶ Z 2 0 |x 3 − 1|dx. 16. (10)(4©)¶ Z π 0 sin6 xdx. 17. (10) (4©) Z √ 2 0 p 2 − x 2dx 18. (09) (4©)¶ Z π/2 0 sin3 x sin3 x + cos3 x dx. 19. (09) (4©)¶ Z 2 −2 min{ 1 |x| , x2 }dx. 20. (08) (7©)f(x) = ( xe−x 2 x ≥ 0 1 1 + cos x − 1 < x < 0. ¶ Z 4 1 f(x − 2)dx. 21. (07) (4©)¶ Z 1 −1 p 1 − x 2 + sin x sin2 x + 1 dx. 22. (06) (9©)¶ Z 1 2 − 1 2 ( p 1 − x 2 + sin(tan x))dx 23. (05) (6©)¶ Z 1 0 dx x + √ 1 − x 2 . 24. (05) (6©)¶ Z 1 0 x arctan xdx
3 点o侧6分求rV- 旅o侧6分快厂 2红侧6分味- 2器侧6分广va一在 29.(02)(8分)求厂fe-2),其中f回)=V④-卫. 以上是历年的期末考试题求定积分主要涉及到换元、奇偶性、分部积分法周 期性. 再给几题 计算以下定积分值 1.dconrds 2#a 8”V-z,nez ‘0+e-c= &厂arcind &厂中阿血
· 3 · 25. (04) (6©)¶ Z 1 −1 x 2 p 1 − x 2dx. 26. (04) (6©)¶ Z 4 1 ln x √ x dx. 27. (03) (5©)¶ Z π 2 0 √ 1 − cos xdx. 28. (03)(5©)¶ Z ln 2 0 √ e x − 1dx. 29. (02) (8©)¶ Z 4 0 f(x − 2)dx,Ÿ•f(x) = √ 4 − x 2. ±˛¥{cœ"£K.¶½»©Ãá9Ü!¤Û5!©‹»©{.± œ5. 2âAK Oé±e½»©ä 1. Z 1 −1 x 3 cos xdx. 2. Z 2 −2 x + |x| 1 + x 2 dx. 3. Z nπ 0 √ 1 − sin 2xdx, n ∈ Z +. 4. Z x+2π x (1 + e sin t − e − sin t )dt. 5. Z π 4 − π 4 cos2 x 1 + a−x dx, (a > 1). 6. Z 1 0 x arcsin xdx. 7. Z 1 0 ln(1 + x) (2 − x) 2 dx. 8. Z 4 1 dx x(1 + √ x) dx. 9. Z π 4 0 x 1 + cos 2x dx.
·4 10.0-r证 [vi-emu 2 +250求矿加-2恤 1.设e)-{ x>0. 14.设fr回=m(e-1只，f0=0,求厂fed 15.设Fo)=-,()求F)的分段表达式，（回）求产Fe) 16.设e+fnrd=5f)=2求fo 二.与积分有关的极限题 与积分有关的极限题主要就是两类：1.和式的极限要求能正确的将和式的极 限表达成一个定积分.2.含有变限积分的未定式的极限要求在求导的时候，对藏在 定积分内部的虹一定要正确的处理好。 1(16)(9分)求极限m名V4- 20的o9)求根现点（中厂a的 3阀仔纷求极限思名点 4间6分求极保马高品等 ga叫的Er送装=m5智器 6.(14(6分)已知fe)=e2,求imf)f2)fmt
· 4 · 10. Z 1 0 x(1 − x 4 ) 3 2 dx. 11. Z ln 2 0 p 1 − e−2xdx. 12. Z π 4 − π 4 x 1 + sin x dx 13. f(x) = ( 1 + x 2 x ≤ 0 e −x x > 0. ¶ Z 3 1 f(x − 2)dx. 14. f 0 (x) = arcsin(x − 1)2 , f(0) = 0,¶ Z 1 0 f(x)dx. 15. F(x) = Z 1 0 t|e t − x|dt,(1) ¶F(x)©„Là™, (2) ¶ Z 2e 0 F(x)dx. 16. Z π 0 [f(x) + f 00(x)] sin xdx = 5, f(π) = 2,¶f(0). . Ü»©k'4ÅK Ü»©k'4ÅKÃá“¥¸aµ1. ⁄™4Å.á¶U(Ú⁄™4 ÅLà§òá½»©.2. ¹kCÅ»©ô½™4Å.á¶3¶ûˇ,Èı3 ½»©S‹xò½á(?n–. 1. (16) (9©) ¶4Å limn→∞ Pn k=1 1 √ 4n2 − k 2 . 2. (16) (9©) ¶4Å limx→∞ 1 x 4 + x Z x 2 0 t arctan(t) dt! . 3. (15) (5©)¶4Å limn→∞ Pn k=1 k n + k 4. (15) (5©)¶4Ålimx→0 R x 2 0 sin tdt ln(1 + x 4) . 5. (14) (10©) Æf 0 (x)ÎY,f(0) = 0, f0 (0) 6= 0,¶limx→0 R 1 0 f(x 2 t)dt x R 1 0 f(xt)dt . 6. (14) (6©) Æf(x) = e x 3 ,¶ limn→∞ [f(1)f(2)· · · f(n)] 1 4 . 7. (13) (6©) limn→∞ ln(1 + 1 n ) n + 1 + ln(1 + 2 n ) n + 2 + · · · + ln(1 + n n ) n + n
5 &网， 1 2网含平 10.(仙，)6分)求m片+).2m-可. e-2a广e2fe) 山四6分设国eC,x且，职号=1求，=阳 12.(0)6分)求▣P+2”+,p是正常数。 nP sint'dt 13.(06分)*织1+可 14o6分)求典（要+平++法) (tanr)d 1返你补考萄)分球，甲a+-a (t-si血d 19.(04)(7分)求盟 0、(侧6分求11+21+.+ n(IP+2 +，p>0
· 5 · 8. (12) (7©) lim x→+∞ 1 x 4 + |sin x| Z x 2 0 t 3 1 + t 2 dt 9. (12) (7©) limn→∞ Pn k=1 n n2 + k 2 10. (11, 07) (6©)¶ limn→∞ 1 n pn n(n + 1)· · ·(2n − 1). 11. (11) (6©)f(x) ∈ C[0, +∞),Ö lim x→+∞ f(x) x 2 = 1,¶ lim x→+∞ e −2x Z x 0 e 2t f(t)dt f(x) . 12. (10) (5©)¶ limn→∞ 1 p + 2p + · · · + n p np+1 , p¥~Í. 13. (10) (5©)¶limx→0 Z x 0 sin t 3 dt ln(1 + x 4) . 14. (08) (5©)¶ limn→∞ 3 r n + 1 n4 + 3 r n + 2 n4 + · · · + 3 r n + n n4 ! . 15. (08) (8©)Oé4Ålimx→0 (1 − 3x) 4 x + 6 sin(x 3 ) (sin x) 3 − 2 Z x 0 (tan x) 3 dt (arctan x) 3 16. (07÷Ú) (7©)¶ lim x→+∞ 1 x Z x 0 (1 + t 2 )e t 2−x 2 dt. 17. (05) (6©)¶ limn→∞ Pn k=1 k 2 k 3 + n3 . 18. (05) (6©)¶limx→0 Z x 0 (tan t − sin t)dt Z x 2 0 arcsin tdt . 19. (04) (7©)¶limx→0 Z x 0 (t − sin t)dt Z x 2 0 arcsin tdt . 20. (03) (5©)¶ limn→∞ 1 p+1 + 2p+1 + · · · + n p+1 n(1p + 2p + · · · + np) , p > 0