§12.1环的定义与性质 环的定义 ■环的性质 ■子环及子环的判定 ■环同态
§ 12.1 环的定义与性质 环的定义 环的性质 子环及子环的判定 环同态
环的定义 定义12.1 设<A,十，>是有两个二元运算的代数系统， 满足： (1)<A,十>是阿贝尔群。 (2)<A,>是半群。 (3)运算·对运算+是可分配的，即Va,b,ceA a(b+c)=(ab)+(ac) (左分配律) (bc)a=(ba)(ca) (右分配律) 则称代数系统<A,十，>为环。 为了区别环中的两个运算，通常称十运算为环中的 加法，·运算为环中的乘法
环的定义 定义12.1 设A,＋,·是有两个二元运算的代数系统， 满足： ⑴A,＋是阿贝尔群。 ⑵A,·是半群。 ⑶运算·对运算＋是可分配的，即a,b,cA a·(b＋c)=(a·b)＋(a·c) (左分配律) (b＋c)·a=(b·a)＋(c·a) (右分配律) 则称代数系统A,＋,·为环。 为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的 加法，·运算为环中的乘法
实例 (1)设R是实数集合，+是实数集合上的普通加法，· 是实数集合上的普通乘法。<R,十>是阿贝尔群，<R,>是 半群，·对十是可分配的。于是<R,十，>是环，叫做实数环 R。 (2)对于复数C、有理数集合Q和整数集合Z,代数 系统<Q,十，>和<Z,十，>也是环。它们分别为复数环、有理 数环和整数环
实例 （1）设R是实数集合，＋是实数集合上的普通加法，· 是实数集合上的普通乘法。R,＋是阿贝尔群，R,·是 半群，·对＋是可分配的。于是R,＋,·是环，叫做实数环 R 。 （2）对于复数C、有理数集合Q和整数集合Z，代数 系统Q,＋,·和Z,＋,·也是环。它们分别为复数环、有理 数环和整数环
问题 判断下面的代数系统是否构成环 (1)<Mn(Z,+,>设Mn(☑是元素为整数的所有n阶 方阵组成的集合，十是n阶方阵的加法，·是n阶方阵的乘 法。 (2)<P(A),©，∩>设A非空集合，P(A)是集合A的幂 集合，田和∩是集合的对称差和交运算。 (3)<Z十3X>设Z0,1,.,k-1,十是Z上的模k 加法，×是Z上的模k乘法
问题 判断下面的代数系统是否构成环 （1） Mn (Z),＋, · 设Mn (Z)是元素为整数的所有n阶 方阵组成的集合，＋是n阶方阵的加法，·是n阶方阵的乘 法。 （2） P (A), ⊕,∩ 设A非空集合，P (A)是集合A的幂 集合， ⊕ 和∩是集合的对称差和交运算。 （3） Zk ,＋k ,×k 设Zk =0,1,. ,k-1，＋k是Zk上的模k 加法，×k是Zk上的模k乘法
(1)设M,()是元素为整数的所有n阶方阵组成的集合，+是n阶方阵 的加法，·是n阶方阵的乘法。方阵的加法十在M()是上封闭的、可结合 的、n阶零方阵是方阵加法的么元、每个阶方阵都有加法逆元，方阵的 加法是可交换的，所以<M,(),十>是阿贝尔群；方阵的乘法·在M,()上是 封闭的和可结合的，所以<M,(),>是半群，方阵的乘法·对方阵的加法十 是可分配的。于是<M,(),十，>是环。 (2)设A非空集合，P(A)是集合A的幂集合，®和∩是集合的对称 差和交运算，已经证明<P(A),⊕>是阿贝尔群，<P(A),∩>是半群，∩对© 是可分配的。所以<P(A),⊕，∩>是环。 (3)设Z0,1,.,k-1,十是Z上的模k加法，×是Z上的模k乘法， 前面已经证明<Z,十>是阿贝尔群，<Z×>是半群，可以证明×对+是 可分配的。所以<乙十×>是环，叫做模整数环
（1）设Mn (I)是元素为整数的所有n阶方阵组成的集合，＋是n阶方阵 的加法，·是n阶方阵的乘法。方阵的加法＋在Mn (I)是上封闭的、可结合 的、n阶零方阵是方阵加法的幺元、每个n阶方阵都有加法逆元，方阵的 加法是可交换的，所以Mn (I),＋是阿贝尔群；方阵的乘法·在Mn (I)上是 封闭的和可结合的，所以Mn (I),·是半群，方阵的乘法·对方阵的加法＋ 是可分配的。于是Mn (I),＋, ·是环。 （2） 设A非空集合，P (A)是集合A的幂集合，⊕和∩是集合的对称 差和交运算，已经证明P (A),⊕是阿贝尔群，P (A),∩是半群，∩对⊕ 是可分配的。所以P (A), ⊕,∩是环。 （3）设Zk =0,1,.,k-1，＋k是Zk上的模k加法，×k是Zk上的模k乘法， 前面已经证明Zk ,＋k 是阿贝尔群, Zk ,×k 是半群，可以证明×k对＋k是 可分配的。所以Zk ,＋k ,×k 是环，叫做模k整数环