.1 本章主要内容 1.导数的据念导数的几何音义 2.求导运算：基本公式，求导法则（四则运算，复合运算，反函数求导运算）， 隐函数求导，参数方程表示的函数求导 3.微分概念，一阶微分形式不变性，几何意义 4.中值定理(Fe mat,Rolle,La nge, Cauchy,Taylor) 5.导数应用(L'Hospital法则，单调性，极值，凹凸性，拐点，作图) 一导数的概念 1.注意导数概念的正确理解2.在很多时候必须用导数定义求导，例如：分 段函数在分段点的导数，若不用导数极限定理，则需用导数定义.另外在求极限时有 时L'Hospital法则是不能用的，只能用导数定义. 例1设f(r)在x=a的某个邻域内有定义，则f(r)在x=a处可导的一个充分条 件是(） (A),lim hf(a+)-fa存在 ()+-fa+创存在 (⑨吗a+〕-a-创存在 D巴@-a存在 条件2设儿可导.F同=1+1则f0=0是F倒在三0处可导的 (A)充要(B)充分但不必要(C)必要但不充分(D)既不充分也不必要 例3设对任意恒有fc+1)=P(),且0=f0)=1,求() 已知0在/0-0-0求 例5设f()在(-o,+∞)内有定义，且满足1f(引≤x2,则点工=0必为f(x)的( (A)间断点 (B)连续，但不可导 (C)可导点，且f0)=0(D)可导点且f0)≠0 二注意一些结论 1.函数可导则一定连续，反之不真若fx)在左右可导，则f()在也连续初 等函数在其定义区间上均连续，但未必在其定义区间上可导例如口)=x在x 0处是连续的，但不可导
· 1 · ŸÃáSN 1. ÍVg,ÍA¤ø¬ 2. ¶$é: ƒ ˙™,¶{K£oK$éßE‹$éßáºÍ¶$é§ß ¤ºÍ¶ßÎÍêßL´ºÍ¶ 3. á©Vgßò á©/™ÿC5ßA¤ø¬ 4. •ä½n£Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, Taylor§ 5. ÍA^£L’Hospital{K߸N5ß4äß]‡5ß$:ß䄧 ò.ÍVg 1. 5øÍVg(n) 2. 3Èıûˇ7L^ͽ¬¶,~X:© „ºÍ3©„:Í,eÿ^Í4Žn,KI^ͽ¬., 3¶4Åûk ûL’Hospital{K¥ÿU^,êU^ͽ¬. ~1 f(x)3x = a,áçSk½¬,Kf(x)3x = a?åòáø©^ á¥( ) (A) lim h→+∞ h[f(a + 1 h ) − f(a)]3 (B) lim h→0 f(a + 2h) − f(a + h) 2h 3 (C) lim h→0 f(a + h) − f(a − h) h 3 (D) lim h→0 f(a) − f(a − h) h 3 ~2 f(x)å,F(x) = f(x)(1 + |sin x|),Kf(0) = 0,¥F(x)3x = 0?å( )^á (A) øá (B) ø©ÿ7á (C) 7áÿø© (D) Qÿø©èÿ7á ~3 È?øxðkf(x + 1) = f 2 (x),Öf(0) = f 0 (0) = 1,¶f 0 (1) ~4 Æf 00(0)3,f(0) = f 0 (0) = 0,¶limx→0 f(x) 1 − cos x . ~5 f(x)3(−∞, +∞)Sk½¬,Ö˜v|f(x)| ≤ x 2 ,K:x = 07èf(x)( ). (A) m‰: (B) ÎY,ÿå (C) å:,Öf 0 (0) = 0 (D) å:,Öf 0 (0) 6= 0 .5øò (ÿ 1. ºÍåKò½ÎY,áÉÿ˝.ef(x)3x0Ümå, Kf(x)3x0èÎY.– ºÍ3Ÿ½¬´m˛˛ÎY,ô73Ÿ½¬´m˛å.~Xf(x) = x 1 33x = 0?¥ÎY,ÿå.
2 2.四则运算 0若aa均华则a士aeo得g≠0迪可导 间若a均不可导则e士gefe得(6回≠0未必不可号 ()若f口)可导，g(工)不可导则fx)士g()不可导，f在)9()未必不可导，若f()≠ 0,则feg(x)也不可导 3.函数y=f(g(x),若u=g(x)在xo可导，=f(u在=g(o)可导，则y= fg()在o可导.且有 (f(g()))'lro=f'(uo)g'(ro). 但注意，如果u=g()在xo与y-f(u)在o至少有一个不可导，那么f(gx》在xo的可 导性都是不能确定的. (1)f)=x2,g()=,则f(g(》=x2,在x=0点g)不可导，f()和g(Fe》均 可导 f(x)-x,g(c)-,则fg(x》-l,在x=0点f(e)可导g(x)和g((x)均不可 导 (2)f(a)=,g()=x2,则f(g(x》=x2,在x=0点fx)不可导，g(x)和fg(c)均 可导. fe)=g(）)=x,则fg(x》=l,在x=0点g(c)可导，f()和fg)均不可 导 (③f)=2x+9)=x-,则f9(》=工，在x=0点f)和g(c)均不 可导，而fg()可导。 f)=g=工+则f(g(a》=x+l,在x=0点f)和g(x)均不可 导，f(g(x)也不可导. 4.f(x)与引f(x)川的可导关系： fe)可导+f()≠0一f训可导：f(x川可导+f)连续一fe)可导. 5.f(x)在xo点n阶可导，则： ()f(x)在U(ro)内未必n阶可号 ()fr)在U(zo)内n-1阶可导，且fx)∈C-2(U(xo》 6周期函数的导数仍为周期函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函 数
· 2 · 2.oK$é (i)ef(x), g(x)˛å,Kf(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) (g(x) 6= 0)èå; (ii) ef(x), g(x)˛ÿå,Kf(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) (g(x) 6= 0)ô7ÿå; (iii) ef(x)å,g(x)ÿå,Kf(x)±g(x)ÿå,f(x)g(x)ô7ÿå,ef(x) 6= 0,Kf(x)g(x)èÿå 3. ºÍy = f(g(x)),eu = g(x) 3x0å,y = f(u)3u0 = g(x0)å,Ky = f(g(x))3x0å, Ök (f(g(x)))0 |x0 = f 0 (u0)g 0 (x0). 5ø,XJu = g(x)3x0Üy = f(u)3u0ñkòáÿå,@of(g(x))3x0å 5—¥ÿU(½. ~ (1)f(x) = x 2 , g(x) = |x|,Kf(g(x)) = x 2 ,3x = 0:g(x)ÿå,f(x)⁄g(f(x))˛ å. f(x) = x, g(x) = |x|,Kf(g(x)) = |x|,3x = 0:f(x)å,g(x)⁄g(f(x))˛ÿå . (2)f(x) = |x|, g(x) = x 2 ,Kf(g(x)) = x 2 ,3x = 0:f(x)ÿå,g(x)⁄f(g(x))˛ å. f(x) = |x|, g(x) = x,Kf(g(x)) = |x|,3x = 0:g(x)å,f(x)⁄f(g(x))˛ÿå . (3)f(x) = 2x + |x|, g(x) = 2 3 x − 1 3 |x|,Kf(g(x)) = x,3x = 0:f(x)⁄g(x)˛ÿ å, f(g(x))å. f(x) = |x|, g(x) = x + |x|,Kf(g(x)) = x + |x|,3x = 0:f(x)⁄g(x))˛ÿå ,f(g(x))èÿå. 4. f(x)Ü|f(x)|å'X: f(x)å+f(x) 6= 0 =⇒ |f(x)|å; |f(x)|å+f(x)ÎY=⇒ f(x)å. 5.f(x)3x0:n å,K: (i)f(x)3U ◦ (x0)Sô7n å, (ii) f(x)3U(x0)Sn − 1 å,Öf(x) ∈ C (n−2)(U(x0)) 6.±œºÍÍE豜ºÍ,¤ºÍÍ¥ÛºÍ,ÛºÍÍ¥¤º Í.
3. (导数介值定理 7.导数三大性质： 导数极限定理 (f红)在区间上可导，其导函数在区间上无第一类间断点 8.f(a)∈C(U(o),且在x0的左右两侧单调性相反，则ro点为极值点，但反之不 真 9.单调可导函数的导函数未必单调：导函数单调，原来的函数也未必单调.例如y= x3x∈(-1,1)，=3r:=xxe(-1,10,y=5r 10.fg()在(a,)内可导，且f)>g(),不能推出f'()>ge).例=1-， x,x∈(0，√班>2：= -元<0，欢=1，<6 三.讨论函数的可导性 (田)已知函数可导求参数 例1设p(x)在x=a点连续，讨论下列函数在x=a点的可导性 ()fa)=(r-a)p(a, ()g(r)=r-al(x). 例2求fx)=(红2-工-2r3-x的不可导点的个数 例3讨论fx)= <0 的可导性，并求() m(1+x)x≥0 例4先研究f)= >0 的连续性，再研究可微性，其中g()在x≤ 129(). x≤0 0上连续.(20092010) 2 例5确定常数a,b,使e) 1+x2 工≤1在-心，+o内可导，并求回 ax+6.1 四.导数、微分的几何意义 切线方程y-fo)=fo-20）法线方程-fo)=一仁-0 例1求出曲线x=Intan号+cost,y=si血,0<t<x的每一条切线上从切点 到与x轴交点的距离.(2010-2011期中)
· 3 · 7.Ínå5üµ Í0ä½n Í4Žn f(x)3´m˛å,ŸºÍ3´m˛Ã1òam‰: 8. f(x) ∈ C(U(x0)),Ö3x0Üm¸˝¸N5Éá,Kx0:è4ä:,áÉÿ ˝. 9. ¸NåºÍºÍô7¸N;ºÍ¸N,5ºÍèô7¸N.~Xy = x 3 x ∈ (−1, 1), y0 = 3x 2 ; y 0 = x x ∈ (−1, 1), y = 1 2 x 2 . 10. f(x), g(x)3(a, b)Så,Öf(x) > g(x),ÿUÌ—f 0 (x) > g0 (x).~y1 = √ 1 − x 2, y2 = x, x ∈ (0, q 1 2 ), y1 > y2, y0 1 = −x √ 1 − x 2 < 0, y2 = 1, y0 1 < y0 2 . n. ?ÿºÍå5 (i) (ƒñºÍ ©„ºÍ (ii) ƺÍå¶ÎÍ ~1 ϕ(x)3x = a:ÎY,?ÿeºÍ3x = a:å5. (i) f(x) = (x − a)ϕ(x), (ii) g(x) = |x − a|ϕ(x). ~2 ¶f(x) = (x 2 − x − 2)|x 3 − x|ÿå:áÍ. ~3 ?ÿf(x) = ( x 1 + e 1 x x < 0 ln(1 + x) x ≥ 0 å5,ø¶f 0 (x). ~4 kÔƒf(x) = 1 − cos x √ x , x > 0 x 2 g(x), x ≤ 0 ÎY5,2Ôƒåá5,Ÿ•g(x)3x ≤ 0˛ÎY.(2009-2010) ~5 (½~Ía, b,¶f(x) = 2 1 + x 2 , x ≤ 1 ax + b. x > 1 3(−∞, +∞)Så,ø¶f 0 (x) o.Í!á©A¤ø¬ ÉÇêß y − f(x0) = f 0 (x0)(x − x0) {Çêß y − f(x0) = − 1 f 0(x0) (x − x0) ~1 ¶—Çx = ln tan t 2 + cost, y = sin t, 0 < t < πzò^ÉDzlÉ: Üx¶:Âl.(2010–2011œ•)
4 例2设f(r)在含有x=0,1的开区间内连续，在x-1处可导，且在x=0的邻域内 满足 f1+sin）-2f1-sinr）=3z+o(x)z→0， 求y=f)在(1，f1)处的切线方程.(2009-2.10期中) 例3设y=f)具有二阶导数，且f'(),f"()>0,△x为自变量x在点o处的增 量，△y与d山y分别为fe)在x0处对应的增量与微分，若△x>0,则() (A)0<d<△y(B)0<△y<dy(C)△y<d<0(D)d<△y<0 五.函数求导（高阶导） 求下列函数的导数 (1)初等函数求导 例：求y=m(红+V金2+a).y=Vx+V压+V的 (2)隐函数求导 例设2+血y-=0求密是 (③)幂指函数求导 例：求[(an )sin )取对数求导法o河号ao-得 ⑤)参数方程求导 例：设f(u)在u=0的邻域内二阶可导，f"(0)=f"(0)=1,影=e)由参数方 程所确定a=g+-血会怎l心 (6)抽象函数求导 例：设f(e)为可导函数，且f()=f(eP则f()=（A) (A)n!lf((B)nf((C)f((D)n!lf() 六.用导数研究函数的性质
· 4 · ~2 f(x)3¹kx = 0, 1m´mSÎY,3x = 1?å,Ö3x = 0çS ˜v f(1 + sin x) − 2f(1 − sin x) = 3x + o(x) x → 0, ¶y = f(x)3(1, f(1))?ÉÇêß.(2009–2-10œ•) ~3 y = f(x)‰k Í,Öf 0 (x), f00(x) > 0, 4xègC˛x3:x0?O ˛,4yÜdy©Oèf(x)3x0?ÈAO˛Üá©,e4x > 0,K( ) (A) 0 < dy < 4y (B) 0 < 4y < dy (C) 4y < dy < 0 (D) dy < 4y < 0 .ºÍ¶(p ) ¶eºÍÍ (1) – ºÍ¶ ~: ¶y = ln(x + √ x 2 + a 2), y = q x + p x + √ xy 0 . (2) ¤ºÍ¶ ~: 2y + sin y − x = 0,¶ dy dx, d 2y dx2 . (3) òçºÍ¶ ~: ¶[(tan x) sin x ] 0 . (4) ÈͶ{: f(x)å,[ln |f(x)|] 0 = f 0 (x) f(x) . ~: y = x 2 s (x − 1)(x − 2) (x − 3)(x − 4),¶y 0 . (5) ÎÍê߶ ~: f(u)3u = 0çS å,f 0 (0) = f 00(0) = 1, y = y(x)dÎÍê ß ( x = te−t y = t §(½,z = f(ln(y + 1) − sin x),¶ dz dx|x=0, d 2 z dx2 |x=0. (6) ƒñºÍ¶ ~: f(x)èåºÍ,Öf 0 (x) = [f(x)]2 ,Kf (n) (x) = ( A ) (A) n![f(x)]n+1 (B) n[f(x)]n+1 (C) [f(x)]2n (D) n![f(x)]2n 8. ^ÍÔƒºÍ5ü
1.函数单调性与极值 2.函数的凹凸性与拐 3.渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线. 4.函数作图，由函数图像推知函数的相关性质. 5.方程的根（函激的零点）.方法：单调性：零值定理：Role定理 例1设f(e)在0,1上二阶可导，且f"()>0,则f(0),f'(1),f(1)-f0)的大小关 系为 .(f"(0)<f1)-f(0)<f(1) 例2已知f)可导f0=0,f'()单调减少，证明：()F)=回在(0,1内单 调减少，(2f1)r≤f() 例3设回)在：=连续且m巴=-1，则回在点x=处(A) ()取极大值(B)取极小值(C)产生拐点(D)以上都不是 例4设fx)满足xf"()+3f'(x)2=1-e,且f(eo)=0(e0≠0)，则(B) (A)fzo)为f(a)的极大值 (B)fo)为f)的极小值 (C)(ro,f(xo)为y=f)的拐点(D)以上都不对 例5设f(x)满足f"(z)+Q+x)f'(e)+x3fx)=sinx,且f'(O)=0,则(C) (A)fO)为f(x)的极小值(B)∫O)为f(e)的极大值 (Cf”(O)为fx)的极大值(D)(0,jO)为曲线y=fz)的拐点 例6设)-(1-儿则(B (4)x=0是极值点，(0,0)不是拐点(B)x-0是极值点，(0,0)是拐点 (C)x=0不是极值点，(0,0)不是拐点(D)x=0不是极值点，(0,0)是拐点 例7曲线y=（任-1)x-2)2红-3)3x-4的拐点是(C (A)(1.0)(B)(2,0)(C(3,0)(D)(4,0) 例8证明曲线影=有位于同一直线上的三个拐点，(20102011期中 例9证明f()=x3-3x+5有唯一零点 例10证明曲线fe)-x”+x-1+.+x-1(m>1,n∈N)与x轴在区 间0,1)中有唯一交点红n,0,并求imn
· 5 · 1.ºÍ¸N5Ü4ä. 2.ºÍ]‡5Ü$:. 3.ÏCÇ: Y²ÏCÇ!RÜÏCÇ!ÏCÇ. 4.ºÍä„, dºÍ„î̺ÍÉ'5ü. 5.êßä(ºÍ":),ê{µ¸N5¶"ä½n¶Rolle½n. ~1 f(x)3[0, 1]˛ å,Öf 00(x) > 0,Kf 0 (0), f0 (1), f(1) − f(0)å' Xè.(f 0 (0) < f(1) − f(0) < f0 (1)) ~2 Æf(x)å,f(0) = 0, f0 (x)¸N~,y²:(1) F(x) = f(x) x 3(0, 1]S¸ N~,(2) f(1)x ≤ f(x). ~3 f(x)3x = aÎY,Ölimx→a f 0 (x) x − a = −1,Kf(x)3:x = a?(A) (A) 4åä (B) 4ä (C) )$: (D) ±˛—ÿ¥ ~4 f(x)˜vxf00(x) + 3x[f 0 (x)]2 = 1 − e −x ,Öf 0 (x0) = 0 (x0 6= 0),K(B) (A) f(x0)èf(x)4åä (B) f(x0)èf(x)4ä (C) (x0, f(x0))èy = f(x)$: (D) ±˛—ÿÈ ~5 f(x)˜vf 00(x) + (1 + x 2 )f 0 (x) + x 3f(x) = sin x,Öf 0 (0) = 0,K(C) (A) f(0)èf(x)4ä (B) f(0)èf(x)4åä (C) f 0 (0)èf 0 (x)4åä (D) (0, f(0))èÇy = f(x)$: ~6 f(x) = |x(1 − x)|,K(B) (A) x = 0¥4ä:,(0, 0)ÿ¥$: (B) x = 0¥4ä:,(0, 0)¥$: (C)x = 0ÿ¥4ä:,(0, 0)ÿ¥$: (D) x = 0ÿ¥4ä:,(0, 0)¥$: ~7 Çy = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 (x − 4)4$:¥(C) (A) (1.0) (B) (2, 0) (C) (3, 0) (D) (4, 0) ~8 y²Çy = x + 1 x 2 + 1 k†u”òÜDzná$:.(2010-2011œ•) ~9 y²f(x) = x 3 − 3x + 5kçò":. ~10 y²Çf(x) = x n + x n−1 + · · · + x − 1 (n > 1, n ∈ N)Üx¶3´ m(0, 1)•kçò:(xn, 0),ø¶ limn→∞ xn.