格<S8,D>,<S6,D>和<S30,D> 30 0 (SgD》 SD) 〈S30D〉 xVy是x,y的最小公倍数[x,y],x∧y是x,y的最大公约数(x,)
格<S8,D>,<S6,D>和<S30,D> 15 5 x∨y是x,y的最小公倍数[x,y], x∧y是x,y的最大公约数(x,y)
例2判断图中偏序集是否构成格，说 明为什么. 1ù (2)
例2 判断图中偏序集是否构成格,说 明为什么
定义设f是含有格中的元素以及符号，≤，君 V,∧的命题，令f*是将f中的≤改写成≥ 将≥改写成≤，V改写成∧，人改写成V 所得到的命题，称为的对偶命题. •格的对偶原理 若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也对 一切格为真. 例3在格中有 (aVb)∧c≤c成立，则有 (a∧b)Vc≥c成立
•格的对偶原理 若f对一切格为真, 则f的对偶命题f*也对 一切格为真. 例3 在格中有 (a∨b)∧c≤c 成立,则有 (a∧b)∨c≥c 成立. 定义 设f是含有格中的元素以及符号=,≤,≥, ∨,∧的命题,令f *是将f中的≤改写成≥, 将≥改写成≤,∨改写成∧,∧改写成∨ 所得到的命题,称为f的对偶命题
定理设<L,≤>为格，则运算V和∧适合 交换律、结合律、幂等律和吸收律，即 (1)Va,b∈L有 aVb=bVa,a∧b=b∧a (2)Va,b,cEL有 (aVb)Vc=aV(bVc), (a∧b)∧c=a∧(b个c). (3)Va∈L有aVa=a,aΛa=a. 母a,bEL,有 aV(a∧b)=a,a∧(aVb)=a
定理 设<L,≤>为格,则运算∨和∧适合 交换律、结合律、幂等律和吸收律,即 (1)a,b∈L有 a∨b＝b∨a, a∧b＝b∧a (2) a,b,c∈L有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c), (a∧b)∧c＝a∧(b∧c). (3)a∈L 有 a∨a＝a, a∧a＝a. (4) a,b∈L,有 a∨(a∧b)＝a, a∧(a∨b)＝a
(2)Va,b,cEL有 (aVb)Vc=aV(bVc), (a∧b)∧c=a∧(b∧c). 证明 由最小上界的定义有 (aVb)Vc≥aVb≥a, (6.1) (aVb)Vc≥aVb≥b, (6.2) (aVb)Vc≥c. (6.3) 由式6.2和6.3得 (aVb)Vc≥bVc, (6.4) 再由式6.1和6.4得 (aVb)Vc≥aV(bVc), 同理可证 (aVb)Vc≤aV(bVc) 根据偏序的反对称性有 D(a Vb)Vc=aVbVc 似地可以证明 (a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(2) a,b,c∈L有 (a∨b)∨c＝a∨(b∨c), (a∧b)∧c＝a∧(b∧c). 证明 由最小上界的定义有 (a∨b)∨c≥a∨b≥a, (6.1) (a∨b)∨c≥a∨b≥b, (6.2) (a∨b)∨c≥c. (6.3) 由式6.2和6.3得 (a∨b)∨c≥b∨c, (6.4) 再由式6.1和6.4得 (a∨b)∨c≥a∨(b∨c), 同理可证 (a∨b)∨c≤a∨(b∨c) 根据偏序的反对称性有 (a∨b)∨c＝a∨b∨c 类似地可以证明 (a∧b)∧c＝a∧(b∧c)