(3)证明Va,beX,a∧b是集合a,b}的最大下界日 因为(a∧b)个=a∧(b个)=n∧b和(a∧b)∧b=∧b 所以a∧b≤a且a个b≤b,即a∧b是a,b的下界。 下证a个b是a,b的最大下界。 设c是，b的任一下界，即c≤a,c<b,那么有 c∧=c,c∧b=c而c∧(a∧b)=(c∧a∧b=c∧b=c 所以c≤a入b,即a个b是{a,b的最大下界。 (4)证明a个b=a的充分必要条件是Vb=b 设a个b=a,由吸收律可得 Vb=(a∧b)Vb=bV(b∧)=b,即aVb=b
（3）证明a,bX，a∧b是集合a,b的最大下界。 因为 (a∧b)∧a= a∧(b∧a) =a ∧b和(a∧b)∧b=a∧b 所以a∧b≼a且a∧b≼b，即a∧b是a,b的下界。 下证a∧b是a,b的最大下界。 设c是a,b的任一下界，即c≼a，c≼b，那么有 c∧a=c，c∧b=c 而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≼a∧b，即a∧b是a,b的最大下界。 （4） 证明a∧b=a的充分必要条件是a∨b= b 设a∧b=a，由吸收律可得 a∨b=(a∧b)∨b=b∨(b∧a)=b，即a∨b= b
设aVb=b,由吸收律可得 a∧b=a∧(aVb)=a,即a∧b=a (5)证明Va,beX,aVb是集合a,b的最小上界。 根据(4)，偏序关系≤可以等价的定义为： ≤=<a,b>la,beX且aVb=b}, 用这个定义和类似于(3)的方法可以证明Vb是集合 a,b的最小上界。 因此，<X,≤>构成一个格
设a∨b=b，由吸收律可得 a∧b=a∧(a∨b)=a，即a∧b=a （5） 证明a,bX，a∨b是集合a,b的最小上界。 根据（4），偏序关系≼可以等价的定义为： ≼=a,b|a,bX且a∨b=b， 用这个定义和类似于（3）的方法可以证明a∨b是集合 a,b的最小上界。 因此，X,≼构成一个格
·格的另一个等价的定义： 定义13.3设<X,*,>是代数系统，其中*和都 是二元运算，如果*和在X上封闭且满足交换律、 结合律和吸收律，则称<X,*,>为格。 以后不再区分偏序集定义的格和代数系统定 义的格，统称为格
定义13.3 设X,*,∘是代数系统，其中*和∘都 是二元运算，如果*和∘在X上封闭且满足交换律、 结合律和吸收律，则称X,*,∘为格。 以后不再区分偏序集定义的格和代数系统定 义的格，统称为格。 • 格的另一个等价的定义
定理13.3设<X,≤>是格，V是X上的并运算 个是X上的交运算。则Ha,beX有 (1)a≤b当且仅当a个b=a (2)a≤b当且仅当aVb=b 证明：(1)设a≤b,下证a个b=a 由a≤且<b知u是集合，b的下界，故有a≤a∧b;另 一方面，由于a∧b是{a,b}的最大下界，所以是a,b}的下界， 即a个b≤a。根据偏序关系的反对称性得a个b=m 设a个b=a,下证a≤b =n∧b≤b,即a≤b 2）1 可类似(1)进行证明
定理13.3 设X,≼是格，∨是X上的并运算， ∧是X上的交运算。则a,bX有 ⑴ a≼b当且仅当a∧b=a ⑵ a≼b当且仅当a∨b=b 证明：⑴ 设a≼b，下证a∧b=a 由a≼a且a≼b知a是集合a,b的下界，故有a≼a∧b；另 一方面，由于a∧b是a,b的最大下界，所以是a,b的下界， 即a∧b≼a。根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a，下证a≼b a=a∧b≼b，即a≼b ⑵ 可类似⑴进行证明
定理13.4设<X,≤>是格，V是X上的并运算 个是X上的交运算。Ha,b,c,deX,若a≤b且c≤d, 则 aVc≤bVd,a∧csb∧d 证明：a≤b≤bVd,c≤d≤bVd,因此aVc≤bVd 类似的可以证明a个c≤b个d
定理13.4 设X,≼是格，∨是X上的并运算， ∧是X上的交运算。a,b,c,dX，若a≼b且c≼d，则 a∨c≼b∨d，a∧c≼b∧d 证明： a≼b≼b∨d ，c≼d≼b∨d，因此a∨c≼b∨d 类似的可以证明a∧c≼b∧d