“取极限” 定义Ds的直径为 1 (Ds)=max{RB B.Pi Ds: 令 1=max{(Ds 1fi￡n V=lima f(,h,)Ds 1®0 =1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录
4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、二重积分的定义 定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 Ds 1.Ds 2L Ds 其中D5,表示第个小闭区域，也表示它的面积在每个 Ds,上任取一点c,h:),作乘积 fc,h,Ds,=1,2,3L,n), 并作和af(c;h,)Ds,如果当各小闭区域的直径中的最 l 大值1®O时，这和的极限存在，则称此极限 毫HIGH EDUCATION PRESS
极限 有界函数 2、二重积分的定义 定义:
为函数x,y)在闭区域上的二重积分 ,记作 1=m 记作 ®0 oof(x,y)ds =1 积分和 积分表达式 f(x,y)ds x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 也称f(x,y)可积 HIGH EDUCATION PRESS
可积 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 为函数f(x,y)在闭区域上的 二重积分 ，记作
几点说明 (1) 如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y) 在D上一定可积。（二重积分存在定理） (2) 如果f(x,y)在D上可积，则该积分与D 的分法和分点(x:,h:)的取法无关， 因此，在直角坐标系中，用平行于x轴和y轴的 两组直线分割D,如图所示 Ds i=DxiDyi, ds =dxdy òdf(x,y)ds=òf(x,)dxdy 学HIGH EDUCATIO}PRESS
（1）如果 f ( x , y ) 在有界闭区域D上连续，则 f ( x , y ) 在D上一定可积。（二重积分存在定理） （2）如果 f ( x , y ) 在D 上可积，则该积分与D 因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和 y 轴的 两组直线分割 D ，如图所示 的分法和分点 的取法无关， 几点说明
(3)几何意义： 当f(x,y)口0时，二重积分表示曲顶柱体的体积： n V=lim f(xi,hi)Ds i=(x,)ds 1®0i=1 D 当f(x,y)口0时，此时曲顶柱体位于x0y平面的 下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是 曲顶柱体体积的相反数。 当f(x,y)在D上有正有负，此时将xoy面上方的 曲顶柱体体积取为正，x0y面下方的曲顶柱体体积取 为负，则f(x,y)在D上的二重积分即为这些曲顶 柱体体积的代数和。 HIGH EDUCATION PRESS
（3）几何意义： 当 f ( x , y ) 0 时，二重积分表示曲顶柱体的体积； 当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平面的 下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是 曲顶柱体体积的相反数。 当 f ( x , y ) 在 D 上有正有负，此时将 x o y 面上方的 曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲顶柱体体积取 为负，则 f ( x , y ) 在 D 上的二重积分即为这些曲顶 柱体体积的代数和