M2的位置就能惟一地确定。 总之,对于一个给定的非自由质点系,其广义坐标的个数是确定的,但广义坐标的取 法则可有不同。 又如,图15-6中所示的曲柄滑块机构,它在O面内运动。曲柄O4作定轴转动, 需要用一个独立参数确定其位置:连杆AB作平面 运动,需要用三个独立参数确定其位置,两个刚体十 则需要四个独立的参数确定其位置。但对曲柄滑块 机构来说受到如下三个几何约束的限制 2-y1)2+(x2-x2)2 因此,曲柄滑块机构的广义坐标只有一个。可以选取曲柄OA的转角φ作为广义坐标,也 可以取滑块B的坐标xB作为广义坐标,等等。 4.虚位移分析 由于质点系的虚位移中,各质点的虚位移并不独立,正确分析并确定各主动力作用点 的虚位移将成为解题的关键。根据具体问题给定的条件,可选用下列方法分析质点系的虚 位移。 (1)几何法。应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关系,称为几何法。在几 何法中,首先应根据系统的约束条件,确定系统的自由度,给定系统的虚位移,并正确画 出该系统的虚位移图,然后应用运动学的方法求有关点虚位移间的关系。在运动学中质点 的无限小位移与该点的速度成正比,即dr=νdt。因此,两质点无限小位移大小之比等 于两点速度大小之比。如果把对应于虚位移的速度称之为虚速度,则两质点虚位移大小之 比必等于对应点虚速度大小之比。这样,就可以应用运动学中的速度分析方法(如瞬心法 速度投影法、速度合成定理等)去建立虚位移间的关系。这种方法也称为虚速度法。例如 图15-4(a)中,连杆AB作平面运动,其瞬心为P,A、B两点虚位移大小之比为 Sy, AP·d0AP dyBP·6BP (2)解析法。解析法是指通过变分运算建立虚位移间的关系。若已知质点系的约束方 程,通过变分运算可得虚位移投影间的关系如式(15-5)。一般情况下,将质点系中各质 点的矢径或直角坐标先表示为广义坐标的函数,如式(15-6)或式(15-7),通过一阶变 分,可得 0r,64 qk (=12,…n
6 M2 的位置就能惟一地确定。 总之，对于一个给定的非自由质点系，其广义坐标的个数是确定的，但广义坐标的取 法则可有不同。 又如，图 15-6 中所示的曲柄滑块机构，它在 Oxy 面内运动。曲柄 OA 作定轴转动， 需要用一个独立参数确定其位置；连杆 AB 作平面 运动，需要用三个独立参数确定其位置，两个刚体 则需要四个独立的参数确定其位置。但对曲柄滑块 机构来说受到如下三个几何约束的限制 ( )( ) 0 2 2 2 2 2 2 = − + − = + = B B A B B A A y y y x x l x y r 因此，曲柄滑块机构的广义坐标只有一个。可以选取曲柄 OA 的转角ϕ 作为广义坐标，也 可以取滑块 B 的坐标 xB作为广义坐标，等等。 4．虚位移分析 由于质点系的虚位移中，各质点的虚位移并不独立，正确分析并确定各主动力作用点 的虚位移将成为解题的关键。根据具体问题给定的条件，可选用下列方法分析质点系的虚 位移。 （1）几何法。应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关系，称为几何法。在几 何法中，首先应根据系统的约束条件，确定系统的自由度，给定系统的虚位移，并正确画 出该系统的虚位移图，然后应用运动学的方法求有关点虚位移间的关系。在运动学中质点 的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt 。因此，两质点无限小位移大小之比等 于两点速度大小之比。如果把对应于虚位移的速度称之为虚速度，则两质点虚位移大小之 比必等于对应点虚速度大小之比。这样，就可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、 速度投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。这种方法也称为虚速度法。例如 图 15-4（a）中，连杆 AB 作平面运动，其瞬心为 P，A、B 两点虚位移大小之比为 BP AP BP AP B A = ⋅ ⋅ = δ θ δ θ δ γ δ γ （2）解析法。解析法是指通过变分运算建立虚位移间的关系。若已知质点系的约束方 程，通过变分运算可得虚位移投影间的关系如式（15-5）。一般情况下，将质点系中各质 点的矢径或直角坐标先表示为广义坐标的函数，如式（15-6）或式（15-7），通过一阶变 分，可得 q ( ) i n q q q q q k k i i i i 0 1, 2, , 2 2 1 1 " = = " ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ δ = δ δ δ r r r r （15-8） ϕ B O x y r l A 图 15-6
ax ax 6x;"0q 6q1+- q1 q2 axis 0 =y41+y693+…+Oy8 6y;0q1 (=1,2,…n)(19) 084aq2 6=;0q q 084k 式中,δx1、y、61、6q1分别为坐标x;,y1,-,q的变分,q称为广义虚位 E(Generalized virtual displacement) 15-3虚位移原理 在研究虚位移原理时,我们先建立虚功与理想约束的概念。 1.虚功( Virtual work) 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功称虚功。设作用于质点上的力F,质点的虚 位移为δr,则力F在虚位移δr上的虚功δW为 6W=F·6r (15-10) 由于虚位移是元位移,所以虚功只有元功的形式,其计算同力在真实小位移上所做的元功。 虚功强调了力与位移的彼此独立性 2.理想约束( Ideal constraint) 在动能定理中,我们曾经讨论过理想约束,现在给出确切定义:若约束反力在质点系 的任一组虚位移上所作虚功之和等于零,则称此约束为理想约束。设第i个质点的反力为 FN,虚位移为δr,理想约束条件可表示为 ∑FNr=0 (15-11) 一般常见的理想约束包括:光滑支承面,各种光滑铰链、轴承、铰链支座,无重刚杆 及不可伸长的柔索,刚体纯滚动时的支承面等。理想约束反映了约束的基本力学特性,无 论是静力学问题或是动力学问题同样适用。理想约束是对实际约束在一定条件下的近似而 今后若无特别说明,非自由质点系则一概视为具有理想约束的质点系,对于哪些需要 考虑虚功的约束反力(如滑动摩擦力)则按主动力处理。 3.虚位移原理 虚位移原理是分析力学的普遍原理之一,在求解静力学问题中有着广泛的应用。虚位 移原理可陈述为 具有双面、定常、理想约束的静止质点系,其继续保持静止的充分与必要条件是:所 有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。即
7 ( ) i n q q z q q z q q z z q q y q q y q q y y q q x q q x q q x x k k i i i i k k i i i i k k i i i i 1, 2, , 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 " " " " = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ （15-9） 式中， i δ x 、 i δ y 、 i δ z 、δ qi 分别为坐标 i x ， i y ， i z ， qi 的变分，δ qi 称为广义虚位 移（Generalized virtual displacement）。 §15-3 虚位移原理 在研究虚位移原理时，我们先建立虚功与理想约束的概念。 1．虚功（Virtual work） 作用于质点上的力在其虚位移上所作的功称虚功。设作用于质点上的力 F，质点的虚 位移为δ r ，则力 F 在虚位移δ r 上的虚功δ W 为 δ W = F ⋅δ r （15-10） 由于虚位移是元位移，所以虚功只有元功的形式，其计算同力在真实小位移上所做的元功。 虚功强调了力与位移的彼此独立性。 2．理想约束（Ideal constraint） 在动能定理中，我们曾经讨论过理想约束，现在给出确切定义：若约束反力在质点系 的任一组虚位移上所作虚功之和等于零，则称此约束为理想约束。设第 i 个质点的反力为 FN i，虚位移为 i δ r ，理想约束条件可表示为 ∑ ⋅ = 0 N i i F δ r （15-11） 一般常见的理想约束包括：光滑支承面，各种光滑铰链、轴承、铰链支座，无重刚杆 及不可伸长的柔索，刚体纯滚动时的支承面等。理想约束反映了约束的基本力学特性，无 论是静力学问题或是动力学问题同样适用。理想约束是对实际约束在一定条件下的近似而 已。 今后若无特别说明，非自由质点系则一概视为具有理想约束的质点系，对于哪些需要 考虑虚功的约束反力（如滑动摩擦力）则按主动力处理。 3．虚位移原理 虚位移原理是分析力学的普遍原理之一，在求解静力学问题中有着广泛的应用。虚位 移原理可陈述为： 具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其继续保持静止的充分与必要条件是：所 有主动力在质点系任何虚位移上的虚功之和等于零。即