第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质思考题四、小结
一、原函数与不定积分的概念 三、不定积分的性质 二、基本积分表 四、小结 思考题 第一节 不定积分的概念与性质
高等数学原函数与不定积分的概念一定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即VxEI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x）或f（x）dx在区间I内原函数.（primitivefunction）例 (sinx)= cosxsinx是cosx的原函数(lnx) = =上页(x>0)X下页返回Inx是二在区间(0,+80)内的原函数7x
下页 返回 上页 例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念 ( primitive function )
高等数学原函数存在定理如果函数f(x)在区间I内连续那么在区间I内存在可导函数F（x)使VxEI，都有F'(x)=f(x)简言之：连续函数一定有原函数问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系上页例(sinx)=cosx(sinx+C) = cosx下页返回（C为任意常数）
下页 返回 上页 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
高等数学关于原函数的说明：(1）若F(x)=f(x)，则对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数(2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则 F(x)-G(x)=C（C为任意常数）证 ： [F(x)-G(x)] =F'(x)-G(x)上页= f(x)- f(x)= 0下页返回（C为任意常数）F(x)-G(x)=C
下页 返回 上页 关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）
高等数学不定积分(indefiniteintegral)的定义：在区间I内，函数f(x）的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为』f(x)dxf(x)dx=F(x)+C被积表达式被积函数任意常数积分号积分变量上页下页返回
下页 返回 上页 任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分(indefinite integral)的定义： 在区间I 内， f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx